流體力學基本方程組

流體運動所遵循的物理規律的數學表達式，用來研究流體運動中各物理量間的變化關係和求解流場中各物理量的分布。

基本介紹

• 中文名：流體力學基本方程組
• 外文名：basic equations of fluid mechanics
• 屬性：遵循的物理規律的數學表達式
• 用途：研究流體運動

簡介

流體運動所遵循的物理規律的數學表達式，用來研究流體運動中各物理量間的變化關係和求解流場中各物理量的分布。

為了求解科學技術和工程實踐中的流體力學問題，首先應對問題中的流體性質和運動現象進行簡化，提出反映問題本質的理論模型，並運用基本的物理定律和反映此模型特點的特殊規律建立流體力學基本方程組。方程組應該是封閉的，即方程的個數要與其中出現的未知物理量的數目相等。然後，根據具體問題的初始條件和邊界條件，求解方程組，計算流場內各物理量的分布。
流體力學方程組的自變數可以取拉格朗日變數（物質坐標和時間），也可以取歐拉變數(空間坐標和時間)。為了便於計算物理量在流場中的分布，一般多採用歐拉變數。

流體運動規律

即流體流動所遵循的物理規律，它們是建立流體力學方程組的依據。
質量守恆定律 　確定的流體，它的質量在運動過程中不生不滅。反映質量守恆定律的方程都稱為連續性方程。
動量變化定律 （牛頓運動定律）　確定的流體，其總動量變化率等於作用於其上的體力和面力的總和。
能量守恆定律 (熱力學第一定律)　確定的流體，其總能量（包括動能和內能）變化率等於外力（包括體力和面力）單位時間所做的功與單位時間自外部給予流體的熱量之和。
熱力學第二定律 　存在狀態函式熵，用它可指出可逆運動過程的條件以及不可逆過程的方向。在可逆絕熱過程中熵保持不變；而不可逆絕熱過程只能朝熵增加的方向變化。
傅立葉傳熱定律 　熱流密度矢量與溫度梯度大小成正比而方向相反。
狀態方程 　流體微團在運動中一般可認為是處於熱動平衡的均勻系統。只有兩個熱力學參量是獨立的。任何三個熱力學參量之間所滿足的確定函式關係都稱為狀態方程（狹義的狀態方程特指壓力、密度、溫度三者之間的函式關係）。不同的流體模型有不同的狀態方程。
本構方程 （應力應變關係）　它給出應力與變形速率間的聯繫，不同的流體模型有不同的本構方程。對牛頓粘性流體，這就是廣義的牛頓粘性定律(見牛頓流體)。對忽略粘性的理想流體，應力就歸結為壓力。

積分形式的流體力學方程組

對有限的流體體積，討論它的質量、動量、能量的變化率，根據基本物理定律寫出的方程組就是積分形式的流體力學方程組。

連續性方程

在流場中任職一體積為的流體，的周界面為σ，其外法線單位矢量為n。設ρ為流體密度；v為流體速度，v_n=v·n；t為時間；為隨體導數。則為τ內流體質量的增加率;為單位時間內通過界面σ流出的流體質量。質量守恆定律給出：

運動方程

設F為作用在單位質量流體上的體力；P為應力張量；p_n=n·P為σ上的面力密度。則內總動量的變化率為;內體力總和為；面力總和為。動量變化定律給出動量定理：

把看成是單位體積上的慣性力，動量變化定律可以解釋成總慣性力與總外力相平衡，從而合力矩為零，由此給出動量矩定理：

式中r為空間點對某固定點（對此點取力矩）的矢徑。由動量矩定理可導出應力張量的對稱性。

能量方程

設U為單位質量流體的內能；v為速度v的大小；q為單位時間內熱源給單位質量流體的熱量；T為熱力學溫度；Q為熱流密度矢量。傅立葉傳熱定律給出：Q=－k▽T，式中k為熱導率。單位時間內由熱源給內流體的熱量為;因傳熱由界面σ流入τ內的熱量為；內流體總能量的時間變化率為；單位時間內體力作功為；面力作功為。能量守恆定律給出：

式(1)～(3)就是積分形式的流體力學方程組。可用它研究流場中物理量的總體變化關係，也可用它導出間斷面上的條件。

微分形式的流體力學方程組

流體力學基本方程組通常就是指微分形式的流體力學方程組。從上面積分形式的方程組出發，把式(1)～(3)中的面積分化成體積分，並假定各被積函式(流場中物理量及其有關的偏導數)連續，就可得到微分形式的方程組（也可直接對無限小體積元套用基本物理定律來建立）。

封閉的流體力學基本方程組

①連續性方程：

②運動方程：

③能量方程：

為使方程組封閉，還要引入本構方程和狀態方程。
④牛頓粘性流體的本構方程：

P=（－p+λ▽·v）l+2μS， （7）

式中l為單位張量；S為變形速率張量；p為壓力；μ為動力粘性係數；μ^,=λ+2μ/3為體積粘性係數。μ′=0的情形稱為斯托克斯流體（除了高溫和高頻聲波這些極端情況外，對一般情形下的氣體運動,都可認為μ^，≈0）。μ′=0和μ=0的情形稱為理想流體，對理想流體P=－pl。

⑤狀態方程：
p=p(ρT)，　 (8)

U=U(ρT)。　 (9)

例如，完全氣體的狀態方程(8)為：p=ρRT，式中R為氣體常數，R=287.14米2/（秒2·度）。比熱為常數的完全氣體的狀態方程(9)為：U=cVT，式中cV為定容比熱。　式(4)～(9)共有13個方程，其中包含ρ、U、T、p、矢量、對稱張量共13個未知物理量（其中F、q、μ、λ、k是給定的量），因此式(4)～(9)就是封閉的流體力學基本方程組。

把式(7)代入式(5)，就得納維－斯托克斯方程：

令其中λ=0，μ=0，就得理想流體的歐拉方程：

基本方程組在直角坐標系內的分量形式

取x、y、z為直角坐標；u、v、w分別為速度在x、y、z軸方向的分量;Fx、Fy、Fz為體力F的相應分量,P_xx、P_yy、…、P_zz為應力張量的相應分量。
本構方程(7)在直角坐標系中的分量形式為：

運動方程(5)的分量形式為：

連續性方程(4)可寫為：

把式(10)代入式(11)得到分量形式的納維－斯托克斯方程：

把式(10)代入式(6)，可得能量方程如下：

式中能量耗損函式ф的表達式為：

(12)、(13)、(14)與(8)、(9)共7個方程中包含u、v、w、ρ、P、T、U共7個未知物理量，因此它們就是寫成直角坐標系分量形式的封閉基本方程組。

封閉方程組的一些常見的特殊情形

①比熱為常數的完全氣體　μ^,=0。封閉的流體運動方程組為：

②正壓流體μ′=0，μ=常數。封閉的流體運動方程組為：

③密度為常數的粘性流體 封閉的流體運動方程組為：

④經典的氣體動力學方程組　經典氣體力學中假定氣體是比熱為常數的完全氣體，運動為絕熱過程，忽略粘性和體力，則封閉的運動方程組為：

式中常數γ為定壓比熱與定容比熱的比值(γ=cp/cV)。

⑤密度為常數的理想流體運動　封閉方程組為：

流體力學基本方程組的適用範圍和發展

上面所得到的流體力學基本方程組是在以下一些前提下建立的：①流體在慣性參考系內運動，服從牛頓運動定律；②流體是連續介質；③流體微團在運動中處於熱動平衡狀態；④流體是單相介質；⑤牛頓粘性流體的模型；⑥層流運動；⑦體力和熱源是已知的，並不考慮它們與流體運動間有相互作用。
大量自然現象和工程技術中的流體運動都是湍流而不是層流，由於湍流的流場有隨機的脈動現象，變化極不規則，必須用統計平均的方法建立湍流平均流動所滿足的運動方程組──雷諾方程組（見湍流理論）。
隨著生產實踐和科學技術的發展，對流體力學不斷提出新的、更複雜和特殊的問題。這些新的問題使上述那些前提分別被突破。近年來，流體力學向物理、化學、生物領域中許多相鄰學科滲透，創立了許多新的分支學科。如相對論流體力學，多孔介質流體力學（即滲流力學）、稀薄氣體動力學、非平衡系統流體力學、多相流體力學、非牛頓流體力學、電流體動力學、磁流體力學、物理－化學流體動力學、生物流體力學(見生物流變學)、地球流體力學、宇宙氣體動力學等等。在這些新的領域內，分別根據所研究問題的特點，提出各自不同的流體運動模型，從而建立各自不同的流體力學運動方程組。

參考文獻

1.詞條作者：杜殉《中國大百科全書》74卷（第二版）物理學詞條：流體力學：中國大百科全書出版社，2009-07：361-362頁

2. L. 普朗特等著，郭永懷、陸土嘉譯：《流體力學概論》，科學出版社，北京，1981。（L. Prandtl, et al., Führer Durch die Strömungslehre, Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1969.）

3.易家訓著，章克本、張滌明、陳啟強、蔡崇喜譯：《流體力學》，高等教育出版社，北京，1983。（Chia-Shun Yih, Fluid Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1969.）