全空間上幾類橢圓型方程中若干問題的研究

《全空間上幾類橢圓型方程中若干問題的研究》是依託江蘇大學，由王俊擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：全空間上幾類橢圓型方程中若干問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王俊
• 依託單位：江蘇大學

項目摘要

全空間上橢圓型方程解的存在性及其性質的研究是近年來學者關注的熱點之一，因其與物理中的Bose-Einstein凝聚,原子物理學，非線性光學和材料科學等有密切聯繫，因而具有重要的套用背景和理論價值。然而，由於缺乏緊性條件和方程本身的特殊具體結構，這些問題的研究有很大難度。本課題擬利用變分方法和無窮維KAM理論等對該問題展開研究。首先，探討帶有非局部交叉項的橢圓型方程中基態解、變號解和多包解的存在性和解的相位分離性，以及正解的唯一性。其次，對具有二次非線性增長條件和混合非線性增長條件的橢圓型方程基態解和渦旋解等問題進行深入研究，特別關注橢圓型方程組中渦旋解的存在性和多重性。第三，研究波方程的擬周期解存在性等問題。力求對現有研究方法進行發展和創新，得到一些新的研究成果。

結題摘要

利用變分方法解決全空間上非線性偏微分方程問題是目前國際數學研究中非常活躍的研究領域。由於其在數學科學發展中的前瞻性、交叉性和廣泛性，該領域一直受到國際數學界和物理學界的長期關注。這些問題與物理中的Bose-Einstein凝聚,原子物理學，非線性光學和材料科學等有密切聯繫，因而具有重要的套用背景和理論價值。然而，由於缺乏緊性條件和方程本身的特殊具體結構，這些問題的研究有很大難度。本項目突破了這一難點，取得了以下的研究成：第一，證明了非局橢圓型方程組問題解的存在性，多重性和集中性，並且得到了規範解的存在性和性質。第二，巧妙結合Morse理論、凸集上的Mountain-Pass定理和Nehari流型方法克服非齊次項帶來的困難，解決了二次增長橢圓方程組中多解的存在性及其性質問題。第三，通過建立新的微分不等式，證明了Keller-Segel橢圓型方程組次臨界質量情況下解的唯一性和解關於時間的漸進行為。第四，探討了次臨界情況下薛丁格-泊松系統解的存在性、多重性及集中性。此外，在多個競爭位勢情況下，克服位勢最值之間的干涉，證明存在性和構造了解集中的新集合。最後，研究了半經典Kirchhoff問題，通過克服臨界指數導致缺乏緊性條件帶來的困難，證明了解的存在性、多重性和集中性。