幾類分數階橢圓型問題的變分法研究

《幾類分數階橢圓型問題的變分法研究》是依託山西大學，由李安然擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：幾類分數階橢圓型問題的變分法研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：李安然
• 依託單位：山西大學

項目摘要

本項目將主要以分數階p-Laplacian方程為原型套用變分法和臨界點理論來研究幾類分數階橢圓型問題的可解性和多解性。作為泛函分析和調和分析的經典議題之一，分數階函式空間以及與其相關的非局部方程在很多領域內都有著很重要的套用，例如薄障礙問題、最最佳化問題、經濟學、相變問題、反常擴散問題、材料科學等。在本項目中利用變分法，首先我們將考慮幾類帶有局部增長性條件的擬線性分數階橢圓型問題的可解性和多解性以及解的若干性質；其次我們將研究幾類全空間上加權擬線性分數階橢圓型問題的可解性和多解性，並考慮解的各種性質。本項目所選課題是我們在近年來研究中遇到的新問題，具有重要理論意義和研究價值。我們期望通過本課題的研究，推進非線性分析理論與套用的發展。

結題摘要

在該項目執行期內，項目組以分數階橢圓方程為主要研究對象，綜合套用變分方法和非線性分析方法研究該類方程非平凡解的存在性、多解性。藉助於分數階橢圓方程解的某種先驗估計，在非線性項只在零點附近加條件的情形下得到了有界區域上半線性、擬線性分數階橢圓方程非平凡解的存在性和多解性。在位勢函式滿足某些可積性條件的前提下，通過構造適當的加權型Sobolev函式空間、建立Sobolev型嵌入定理，項目組研究了一類全空間上擬線性分數階橢圓問題的多解性。通過計算臨界群，利用Morse理論，項目組還研究了一類擬線性橢圓方程非平凡解的存在性和多解性問題。這些研究結果完成了項目申請中所涉及的主體內容，豐富了橢圓方程的理論。在項目執行期間，項目組已在國際SCI收錄雜誌發表學術論文3篇。