分數階橢圓方程與哈密頓系統多解問題的研究

《分數階橢圓方程與哈密頓系統多解問題的研究》是依託東北師範大學，由常小軍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：分數階橢圓方程與哈密頓系統多解問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：常小軍
• 依託單位：東北師範大學

項目摘要

本項目致力於套用變分與拓撲方法研究分數階橢圓方程和哈密頓系統的多解問題。隨著在反常擴散、非牛頓流體力學、量子力學 、粘彈性力學、軟物質物理力學、美式期權等領域研究的需要，對分數階微分方程的研究越來越得到人們的廣泛關注，而對分數階橢圓方程的研究正成為當前非線性分析領域的一個研究熱點。哈密頓系統作為一類重要的數學模型一直受到人們的高度重視，其中奇異哈密頓系統由於其特殊而重要的背景，更是受到眾多著名數學家的關注和深入研究。 本項目主要研究：（1）有界區域上分數階拉普拉斯方程邊值問題解的多重性；（2）分數階薛丁格方程的基態解的存在性以及束縛態解的多重性,進一步研究其變號解的存在性與多重性；（3）奇異哈密頓系統的固定能量問題解的多重性；（4）帶有阻尼項的奇異哈密頓系統解的存在性與多重性。

結題摘要

本項目主要圍繞分數階橢圓型方程和哈密頓系統的解的存在性與多重性以及相關問題開展研究。主要研究成果有：（1）在非線性項只滿足次臨界增長和山路幾何條件下得到了分數階Schrodinger方程的基態解的存在性，該結果目前已經被義大利知名學者Pucci等人多次引用；（2）分數階p-Laplace 運算元是擬線性的奇異積分運算元，並且不能用延拓法進行局部化。我們得到了分數階p-Laplace 方程變號解的存在性與多重性及其最小能量變號解的存在性；（3）引入了旋轉周期解的概念，該旋轉周期解具有正交對稱結構，包含周期解、次調和解和擬周期解。我們分別對強制梯度非線性項和Hartmann 型非線性項研究了二階常微分方程組的旋轉周期解的存在性。對帶奇異性的系統，我們還分別在強奇異力和弱奇異排斥力情形研究了帶耗散項與不帶耗散項的二階常微分方程組的旋轉周期解的存在性。特別地，對一些已知具有周期解的奇異系統得到了高維非碰撞次調和解與擬周期解的存在性；（4）結合變分法、Maslov 型指標理論和Morse 指標理論對N-體問題中一類特殊軌道Criss-Cross軌道研究了其線性穩定性。此外，還研究了一類帶Bessel運算元的分數階Schrodinger 方程解的多重性和最小能量變號解的存在性，以及分數階Hamilton 型橢圓方程組解的存在性與多重性。