《波方程的時間周期解及其Maslov型指標理論》是依託吉林大學，由常小軍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：波方程的時間周期解及其Maslov型指標理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：常小軍
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
波方程是數學物理中一類重要的偏微分方程，它通常描述自然界中各種各樣的波動現象，例如聲波、光波和水波。波方程的時間周期解對應於一種特殊而又十分重要的波動現象- - 周期波動。近些年來，Conley, Zehnder,龍以明等知名數學家對有限維哈密頓系統建立並發展了Maslov型指標理論, 將其套用於有限維哈密頓系統的周期解的研究並取得了深刻而豐富的成果。波方程由於具有哈密頓結構，通常稱之為無窮維哈密頓系統。本項目將致力於在Sturm-Liouville邊值條件下建立波方程的時間周期解的Maslov型指標理論，並將其套用於非線性波方程在Sturm-Liouville邊值條件下時間周期解的多重性和穩定性的研究。
結題摘要
自二十世紀六十年代起, 在Dirichlet 邊值條件下對波方程的時間周期解的存在性與多重性的研究就一直受到廣泛重視和深入研究. 但是在Sturm-Liouville邊值條件下對波方程時間周期解的研究還不多. 另一方面, 近些年來, Conley, Zehnder, 龍以明等知名數學家對有限維哈密頓系統建立並發展了Maslov 型指標理論, 將其套用於有限維哈密頓系統的周期解的研究並取得了深刻而豐富的成果. 本項目中,我們主要在Sturm-Liouville邊值條件下研究非線性波方程的時間周期解的存在性與多重性. 我們按照計畫書開展研究，基本完成了項目的研究任務. 特別地,我們對Sturm-Liouville 邊值條件進行了分類, 將其分成了四類, 其中第四類對應於 Dirichlet 邊值條件. 對於其他三類邊值條件我們對波運算元的特徵值的漸近性進行了仔細的分析, 研究了波運算元的性質. 進一步地, 我們對這三類邊值條件對應的線性問題得到了表示公式, 並將之用來研究 Sturm-Liouville 邊值條件下解的正則性與多重性. 特別地, 我們研究了超線性增長條件下解的多重性. 我們還在 Sturm-Liouville 邊值條件下定義了波運算元的相對Morse 指標以及 Maslov 型指標, 並套用其得到漸近線性增長時波方程的非平凡解的存在性. 對於其中的第二與第三類邊值條件, 我們套用臨界點理論在超線性增長條件時得到了無窮多解的存在性. 注意到, 波運算元的譜與相應的常微分方程邊值問題有緊密聯繫, 在項目運行期間, 我們還研究了反周期邊值條件下二階常微分方程的Fucik譜, 以及相應的可解性問題, 研究了周期邊值條件下p-Laplace方程的關於Fucik譜的可解性問題以及二階常微分方程周期解的多重性. 此外, 近年來, 分數階微分方程受到了包括Caffarelli, Kenig和Vazquez 等著名數學家的高度關注和深入研究. 分數階波方程由於是非局部方程, 目前還有很多問題需要進一步研究. 注意到其穩態解對應於分數階橢圓方程的解, 因此我們在項目運行過程中套用臨界點理論研究了分數階橢圓方程與分數階Schrodinger方程的變號解以及解的多重性.
