《非周期哈密頓系統及離散薛丁格方程的同宿解》是依託南開大學，由馬世旺擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非周期哈密頓系統及離散薛丁格方程的同宿解
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：馬世旺
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在變分框架下使用直接變分方法、極小極大方法、集中緊性原理等非線性分析工具研究非周期哈密頓系統和非周期離散薛丁格方程同宿解的存在性與多重性問題，特別是漸近自治、漸近周期哈密頓系統與漸近自治、漸近自治離散薛丁格方程同宿解的存在性與多重性問題。利用新近發展起來的極大-極小方法，研究漸近自治、漸近周期哈密頓系統多包解的存在性，漸近自治、漸近周期離散薛丁格方程多包正解、多包變號解的存在性，由此得到問題的無窮多個同宿解。關於周期或自治哈密頓系統和周期離散薛丁格方程同宿解的存在性與多重性，目前已有大量文獻。利用變分方法研究非周期哈密頓系統同宿解的存在性問題至今也有20多年了，但目前文獻還較少。由於相應的索布列夫嵌入非緊，給這一問題的研究帶來了巨大的困難。為了克服緊性缺失人們假設勢滿足強制性條件。本項目的研究具有有界非周期勢的哈密頓系統和離散薛丁格方程同宿解的存在性與多重性具有重要的理論意義與現實意義。
結題摘要
在變分框架下利用非線性分析工具研究非周期非局部橢圓方程和非周期離散薛丁格方程同宿解的存在性與多重性問題，特別是漸近自治非局部橢圓方程與漸近自治離散薛丁格方程同宿解的存在性與多重性問題。關於周期或自治非局部橢圓方程和周期離散薛丁格方程同宿解的存在性與多重性，目前已有大量文獻。利用變分方法研究非周期非局部橢圓方程同宿解的存在性問題至今也有20多年了，但目前文獻還較少。由於相應的索布列夫嵌入非緊，給這一問題的研究帶來了巨大的困難。本項目對周期離散薛丁格方程，在強不定情形下得到了非平凡解存在的充分必要條件，揭示了這類方程存在非平凡解的本質特性。對帶有漸近常數勢函式的薛丁格方程，利用集中緊性引理及重心函式得到了基態正解和束縛態正解存在的充分條件，揭示了勢函式對解的存在性的深刻影響，改進了這方面已有研究成果。對具有局部次臨界擾動的次臨界Choquard方程,研究了基態解的存在性、正性、正則性、徑向對稱性、衰減性質等,並建立了Pohozaev恆等式。然後利用此結論研究了具有臨界指標及局部擾動項的Choquard方程,利用指標逼近技巧及Pohozaev恆等式得到了基態解的存在性、徑向對稱性、衰減性等結論。對帶有非對稱外電場勢的次臨界Kirchhoff方程,薛丁格-泊松方程及Choquard方程,利用區域逼近、積分估計及Pohozaev恆等式、極小極大定理等工具在勢函式不具有任何對稱性且滿足適當的指數增長條件(其中Choquard方程情形要求代數增長)下得到無窮多個非平凡解的存在性。本項目研究的問題具有重要的物理背景，所以研究具有有界非周期勢非局部橢圓方程和離散薛丁格方程同宿解的存在性與多重性具有重要的理論意義與現實意義。
