某些類型格點系統的定性研究

《某些類型格點系統的定性研究》是依託南開大學，由馬世旺擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：某些類型格點系統的定性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：馬世旺
• 依託單位：南開大學

中文摘要

利用非線性分析工具研究FPU 格點系統非平凡孤立波解、周期運動的存在性,研究離散薛丁格方程同宿解的存在性及多重性,爭取得到更為深刻細緻的結果。對具有更一般勢函式的FPU 格和帶有格點勢的格點系統，利用集中緊性原理及逼近技巧研究其非平凡孤立波解的存在性和多重性。利用直接變分方法、極小極大方法及集中緊性原理等工具研究FPU 格和帶格點勢的格點系統非平凡周期運動的存在性，完善周期運動的存在性理論。利用延拓方法、Morse 理論等工具研究帶漸近二次格點勢的格點系統非平凡孤立波和周期運動的存在性,進一步豐富這方面的理論。利用極小極大方法、Morse理論研究離散非線性薛丁格方程同宿解的存在性與多重性。格點系統可以看作某些非線性波方程關於空間變數的離散化，和非線性波方程一樣具有很強的物理背景，描述了不同的物理系統。對這些方程孤立波、周期解及同宿解的存在性、多重性研究具有重要的理論意義和現實意義。

結題摘要

研究了FPU格點系統非平周期運動的存在性,得到了周期解的存在性與多重性, 當周期在某區間取值時,得到的周期解是非常數的。特別地,對具有奇非線性項的FPU格,證明了任意多個結構不同的非常數周期解的存在性。其次我們研究了在無窮遠處是漸進二次增長的情形。在給定合適的扭轉條件下,得到了一個具有有限能量的非零T周期解,並在一定的條件下我們還得到了解的非常性。利用Morse理論和一些最新的關於臨界群精確計算的結果,研究了帶漸近二次相互作用勢的格點系統非平凡周期運動的存在性與多重性, 進一步豐富了這方面的理論。利用山路定理,廣義的環繞定理等非線性分析工具研究了具有弱超二次勢的FPU格點系統周期波的存在性,然後再利周期逼近證明了非平凡孤立波的存在性。利用Nehari流形方法研究了FPU格點系統,對弱超二次情形得到了基態孤立波的存在性。利用Morse理論等工具,研究了離散薛丁格方程同宿解的存在性及多重性,在正定情形,研究了多包解的存在性,得到了無窮多個結構不同的非平凡同宿型解的存在性。對強不定周期離散薛丁格方程,利用弱環繞定理,證明了非平凡同宿解的存在性。利用新近發展的關於對稱泛函的抽象臨界點定理等工具,研究了具有奇非線性項的周期離散薛丁格方程,在強不定情形,對漸近線性非線性項及弱超線性非線性項的情形,得到了無窮多個結構不同的非平凡同宿解的存在性。利用新近發展的抽象臨界點理論，研究了強不定周期離散薛丁格方程的同宿解的存在性與多重性問題，在非線性項滿足漸近線性或超線性條件下，給出了無窮多個結構不同同宿解存在性的新條件。此外還研究了非周期離散薛丁格方程,利用噴泉定理證明了無窮多個孤立子的存在性。