《哈密頓系統與KAM理論若干問題研究》是依託東南大學，由徐君祥擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：哈密頓系統與KAM理論若干問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：徐君祥
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目主要利用KAM理論和泛函分析理論研究有限維和無窮維哈密頓系統及其有關問題；這些問題有重要的套用背景和理論價值。首先利用KAM理論方法研究具有法向退化的近可積哈密頓系統低維不變環面在小擾動下的保持性問題以及兩個變數都退化的擬周期系統的約化問題。這些問題有很大的困難，因此我們要發展新的KAM理論技巧和方法來解決這些問題。此外我們將這些方法和結論推廣，套用於可逆系統。我們還將利用無窮維的KAM方法研究一類淺水波方程，證明不同邊值條件下的擬周期的存在性，取得一些深入的結果。此外我們利用變分方法和臨界點理論研究一些偏微分方程的同宿軌問題，以及基解的存在性與穩定性問題，取得一些重要成果。
結題摘要
本項目“哈密頓系統與KAM理論若干問題研究”經過四年課題組成員的共同努力，基本上按原計畫完成。利用我們發展起來的KAM理論技巧和變分技巧， 在具有退化情形的哈密頓系統， 可逆系統， 辛映射的KAM定理，淺水波方程的小振幅擬周期存在性問題， 以及具有更一般非線性項和位勢的薛丁格方程組， 薛丁格泊松系統，基爾霍夫方程，橢圓方程組等問題的正解性， 多解性， 基態解和穩定解方面都取得了一些預期的或更好的結果。在退化情形的KAM理論方面，包括頻率關於參數的連續光滑情形和具有法向一維退化平衡點的哈密頓系統，利用一些新的思想我們證明了相應的KAM定理。此外這些結果和方法可用於可逆系統和辛映射等得到相應的KAM定理。 這些結果較大的改進了已有的結果， 具有重要的理論意義。此外我們通過對Boussinesq淺水波方程的哈密頓結構分析， 利用無窮維KAM理論， 得到了一類 Boussinesq方程的小振幅擬周期的存在性。這是我們首次把無窮維KAM理論用於這類淺水波偏微分方程， 得到有意義的結果。 此外，我們利用臨界點理論和變分方法的技巧， 研究了幾類有關薛丁格方程， 基爾霍夫方程等一些偏微分方程的多解性，基態解和穩定解問題，在更一般的非線性條件和位勢條件下， 推廣了已有的結果， 也得到一些全新的結果。 在這期間， 共完成論文三十多篇.
