《預辛系統及多尺度哈密頓系統的KAM-型定理》是依託吉林大學，由許璐擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：預辛系統及多尺度哈密頓系統的KAM-型定理
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：許璐
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
預辛系統，即附有預辛結構的動力系統，具有廣泛的套用背景。例如，退化的拉格朗日系統、帶有限制的哈密頓動力系統、時間t相關的哈密頓系統，都可以化簡為相應的預辛動力系統，而多尺度近可積哈密頓系統，是天體力學中的多體問題為背景抽象出來的數學模型。. Kolmogorov-Arnold–Moser 理論，是上世紀動力系統穩定性研究領域的重大突破。此後，人們運用這一思想，證明了有限維保守系統的不變環面保持性、低維環面保持性；無窮維哈密度系統的擬周期解存在性等重要結果。發展至今，KAM環面保持性定理，已經成為動力系統穩定性研究領域的重要課題之一。本項目將致力於這方面的研究，集中考慮預辛動力系統的whiskered環面的存在性，以及多尺度、高階退化哈密頓系統的低維環面保持性問題。這兩個問題的研究，無論是對KAM-型理論體系自身的發展與完善，還是對解決實際的物理問題，都是很有意義的。
結題摘要
本項目研究內容及結果共分為兩個部分。 第一部分，我們關注的是以天體力學中的克卜勒問題為背景的多尺度近可積哈密頓系統。類似於經典近可積系統，我們研究了多尺度系統的共振環面，並且證明了大多數的龐加萊非退化的低維環面在小擾動下依然具有保持性。該證明運用了標準型化簡和修正的KAM疊代，確切的說，為克服多尺度造成的疊代序列不收斂等技術問題，我們首先進行了有限次疊代，將系統擾動階數推高，再用KAM疊代格式證明低維環面的存在性。 第二部分，我們證明了在恰當預辛映射下，系統 whiskered 環面的存在性。證明過程以後驗型疊代格式為基礎，這種疊代並不依賴於作用-角變換理論，而是先假設系統有近似不變環面，再通過疊代修正誤差項。疊代的收斂性依賴於系統的幾何結構。由於疊代過程中涉及到的參數少，這類疊代格式更容易得到數值實現結果。
