隨機哈密頓系統的KAM保持性與有效穩定性

《隨機哈密頓系統的KAM保持性與有效穩定性》是依託吉林大學，由李勇擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：隨機哈密頓系統的KAM保持性與有效穩定性
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李勇
• 依託單位：吉林大學

項目摘要

本項目主要研究隨機哈密頓系統的KAM保持性與有效穩定性。隨機哈密頓系統動力學穩定性是近年來動力系統領域高度關注的研究課題之一，在這方面，一個具有基本科學意義的問題是：可積哈密頓系統在小的隨機攝動下，它的動力學穩定機制如何演化，可積性是完全被破壞，還是在許多的情形和相對大的時間尺度保持下來，或是， 對於凸哈密頓系統，它的所有軌道還能像在確定情形那樣，在指數長的時間尺度之內，穩定性沒有明顯變化？迄今為止，人們對這類問題仍然知之甚少。前者是說在確定哈密頓系統中的經典KAM理論在隨機哈密頓系統中是否有類似的結論；後者是說，確定情形的Nekhoroshev有效穩定性在隨機情形下是否仍然成立。誠然，在隨機哈密頓系統中，由於連續時間的隨機共振的存在，所研究問題已經不像離散隨機動力系統，有時間空隙，可以有效避開本質共振，因此問題的研究會變得相當複雜。我們旨在建立隨機哈密頓系統的KAM保持性和有效穩定性。

結題摘要

隨機現象是自然界一種最基本和普遍的現象。 自上世紀四十年代日本數學家Ito建立Ito微積分起，人們發展了各種數學理論與工具來分析和認識各種各樣的隨機現象。而動力系統自Poincare研究三-體問題的周期解以來已經成為一個重要並具有強大生命力的現代數學分支，特別是哈密頓系統的研究, 由於其在力學和物理中的廣泛存在， 一直以來受到人們的廣泛關注。著名的KAM理論描述了非共振情形可積哈密頓系統的穩定性機制有多少能在小攝動下保持下來的問題，該問題被Poincare稱之為“動力學基本問題”，而我們之前研究了在共振情形哈密頓系統的動力學穩定性。在本項目中我們旨在研究隨機動力系統領域特別是隨機哈密頓系統的解的動力學性質。在項目運行期間，我們研究了隨機動力學方程以及隨機動力系統領域的一些相關問題, 如作為隨機無窮維動力系統的典型例子的隨機Kuramoto-Sivashinsky方程的零可控性, 隨機微分方程、隨機泛函微分方程以及隨機時滯微分方程的依分布周期解的存在性, 分數階隨機微分方程與平均場隨機微分方程的幾乎自守解的存在性。 此外，我們還研究了經典微分方程與動力系統理論中若干問題, 如一維Schrodinger方程在Sturm-Liouville邊值條件下的局部精確可控性, 多尺度哈密頓系統的不變環面的保持性,以及若干動力學方程仿射周期解理論（包括周期解, 調和解以及擬周期解）。特別地， 我們研究了連續時間下一階常微分系統、二階奇異與非奇異耗散動力學系統、時標系統、離散系統等動力學系統的仿射周期解的存在性理論。項目所得到研究成果目前部分已被接受或發表在《 SIAM J. Control Optim. 》,《Discrete Contin. Dyn. Syst.-A》,《Adv. Nonlinear Stu.》,《J. Math. Phys. 》,《Rocky Mountain J. Math.》等國際著名期刊雜誌上。