《含非局部項的非線性橢圓型方程組》是依託中南財經政法大學，由蔣永生擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：含非局部項的非線性橢圓型方程組
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：蔣永生
- 依託單位：中南財經政法大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
含非局部項的非線性橢圓型方程組源於量子多體系統孤立波解的研究，其中的非局部項反映了多個粒子間的相互作用。本項目主要研究它的具有物理意義的解――基態解和激發態解的存在性及相關性質。具體研究內容包括：在Hartree-Fock-Slater理論體系下，證明含非局部項的橢圓型方程組的基態解和激發態解的存在性，並討論它的非平凡解隨參數變化時的漸近行為，給出解的相關範數估計等。目前有關這方面的研究結果較少，經典的變分方法很難直接適用於這類問題。該項目擬用變分方法結合偏微分方程的技巧來研究解的存在性等問題，並考慮套用伸縮變換等預估計方法研究解的性質。我們想通過這些問題的研究更深刻地了解非局部項對橢圓型方程組解的存在性的影響，同時為研究含非局部項的非線性橢圓型方程組提供一些新方法。
結題摘要
本項目研究了含有非局部項的橢圓型方程非平凡解, 多解的存在性以及解的性質。具體內容包括:1.在奇異位勢條件下， 利用形變引理和伸縮變換技巧證明了具有凹凸變分泛函結構的Schrödinger Poisson方程非平凡解的存在性，並研究了非平凡解隨頻率參數趨近於0時的漸近行為。進而獲得了 Schrödinger Poisson方程的一類渦旋解。2. 我們研究了含庫侖位勢的穩態 Schrödinger Poisson Slater 方程, 利用其變分泛函在H^1空間中的下凸性質得到基態解，利用具有庫侖位勢的Schrödinger運算元的特徵值研究了激發態解的存在性。3. 通過研究一類含非局部項的橢圓型方程的非平凡解的存在性，我們得到了Chern Simons Schrödinger方程蝸旋解的存在性，多解性和非存在性。
