《非線性Schordinger方程及其相關問題的變分方法研究》是依託蘇州大學，由黃毅生擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性Schordinger方程及其相關問題的變分方法研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：黃毅生
- 依託單位：蘇州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬套用變分方法和臨界點理論研究一類非線性Schrodinger方程及其相關的橢圓方程的解的存在性和解的性態問題。這類方程起源於量子物理，它在非線性光學、電磁學、凝聚態物理等領域中有著許多重要的套用，是當今非線性分析領域的研究熱點，吸引了眾多數學研究者的興趣，湧現出了大量突出的研究成果，同時也留下了一些極具挑戰性的課題。本項目的研究包含了下面三個方面的內容： (1)建立研究運算元和非線性項都是強不定時Schrodinger方程解的存在性和多重性的一般方法，探索不同的位勢函式對方程解的存在性與解的性態的影響； (2)研究在位勢變號及位勢在無窮遠處消失時，Schrodinger-Poisson系統的可解性和多解性及解的性態； (3)研究有界或無界域上一類奇異橢圓方程及其耦合方程組的可解性、多解性及其解的性態，並結合增廣拉格朗日函式方法等最佳化技巧尋求一些約束最佳化問題的可解性。
結題摘要
本項目圍繞具有較強物理背景的Schrodinger方程和方程組開展研究，其研究成果主要集中在下面三個方面：一是通過引入新的函式空間，利用變分方法，獲得了全空間上一類強不定的雙調和橢圓方程非平凡解的存在性結果，並分析了該解關於參變數的漸近性態；通過建立Rellich不等式和利用下降流方法，在半空間上獲得了一類p-雙調和方程在含Hardy位勢的Navier邊值條件下的正解、負解及多重變號解和多重變號解的存在性結果；二是利用變分的方法和擾動技巧獲得了當參變數滿足一定條件時一類4維空間的有界區域上含Kirchhoff非局部項的Schrodinger方程非平凡解的存在性和非存在性的結果，並部分回答了一個開問題，同時我們通過建立一個輔助的方程組求解也獲得了一類N（N＞2）維有界區域上Kirchhoff非局部項的Schrodinger方程變號解存在性，變號解的結點域的個數，解隨參數變化的集中性質以及變號解的能量估計等結果；三是對含雙調和運算元或一般退化的擬線性運算元，非線性項含有Hardy-Rellich型奇異位勢以及單個或多個Hardy-Sobolev和Caffarelli-Kohn-Nirenberg臨界指數的耦合橢圓系統，利用變分方法，套用Lions集中緊性原理和Palais對稱臨界原理，通過對臨界項與擾動項相對應的無窮小量的階精細的刻畫獲得了所研究系統的非平凡對稱解、正解及多重解的一系列存在性結果。此外通過建立p-Laplace方程或含非局部項的橢圓方程的解的唯一性結果，獲得了與方程對應泛函的最佳化重排問題的存在性結果。
