《有關跨音速激波及接觸間斷的若干偏微分方程問題》是依託華東師範大學，由袁海榮擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：有關跨音速激波及接觸間斷的若干偏微分方程問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：袁海榮
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目利用偏微分方程研究氣體動力學中若干跨音速激波和跨音速接觸間斷現象的存在性、穩定性及唯一性。典型問題是：（1）對三維定常可壓縮歐拉方程組，研究其球對稱跨音速激波特解在超音速來流和下游壓強擾動下的穩定性；對一側亞音速流是靜止氣體的情形，研究跨音速接觸間斷對於另一側超音速流光滑小擾動的局部穩定性；（2）含摩擦等效應的定常可壓縮理想流體中的跨音速激波的適定性；（3）對兩維定常歐拉方程組，研究當超音速流在有界變差函式類里擾動時（從而含有間斷）跨音速激波及跨音速接觸間斷的穩定性。這些問題是圍繞著如特徵及非特徵自由邊界，非光滑區域上非線性雙曲-橢圓耦合-複合型方程組等本領域當前研究的關鍵難點展開的,對其研究不但有助於解決相關實際套用問題，對偏微分方程的理論發展也有重要意義。在前期工作的基礎上,我們擬結合複分析,調和分析等方法，發展所需一階橢圓組及雙曲組理論，解決上述典型問題或相關問題。
結題摘要
跨音速激波和接觸間斷是氣體高速運動中出現的兩種基本流動形態，在超音速進氣道、衝壓發動機、超音速噴管設計中起著重要作用。若以定常可壓縮歐拉方程組為控制方程，其理論研究涉及雙曲—橢圓複合混合型偏微分方程組、特徵或非特徵自由邊界、強波干涉、區域幾何效應等典型數學難點。本項目發展了若干偏微分方程方法，研究了歐拉方程組的涉及跨音速激波和接觸間斷的若干典型邊值問題的適定性。所得結果包括：（1）對三維定常非等熵可壓縮歐拉方程組，證明了球對稱跨音速激波在來流和下游壓強高維小擾動下的穩定性。我們結合微分幾何方法，發展了一套分解三維定常歐拉方程組的方法，不但證明了區域幾何擴張對於定常跨音速激波的穩定性效應，而且可以用來研究摩擦、熱交換等其它工程需中考慮的因素對定常跨音速激波穩定性的影響。此外，我們在研究中自然地導出了非經典的二階線性非局部橢圓型方程及其Venttsel型邊值問題、球面上的橢圓型方程等，我們綜合運用和發展調和分析技術得到了這類線性問題的適定性，這在偏微分方程理論中也饒有趣味。（2）對二維定常非等熵可壓縮歐拉方程組，證明了一側為靜止氣體,一側為超音速流的跨音速接觸間斷當超音速流場含有強激波或強疏散波時，在上游超音速來流不光滑小擾動下，整體弱熵解的存在性。我們構造了新的Glimm 泛函，仔細處理了不同類型基本波的干涉問題。（3）對相關三維定常亞音速流的穩定性和唯一性，以及平面定常等熵無旋流中的脫體激波問題，做了一些探索性研究。這些結果有助於人們深入理解相關物理現象，對工程實踐和數值計算有一定借鑑價值，也為相關數學理論進一步發展打下了良好的基礎。
