跨音速流、激波與含幾何效應的混合型偏微分方程

《跨音速流、激波與含幾何效應的混合型偏微分方程》是依託華東師範大學，由袁海榮擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：跨音速流、激波與含幾何效應的混合型偏微分方程
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：袁海榮
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

本項目旨在研究截面具有收縮-擴張幾何性質的管狀區域或Riemann流形上定常（亞音速-超音速）跨音速流和（超音速-亞音速）跨音速激波特解的穩定性、唯一性，及相關雙曲-橢圓複合型混合型偏微分方程的定解問題的提法及其適定性，以認識流體所據空間幾何效應對方程的含跨音速流和激波的特解的存在性、穩定性和唯一性的影響，促進非線性雙曲-橢圓複合型混合型方程理論的發展，並為研究更加複雜的氣體動力學現象提供必要的準備。.我們將研究：（1）用定常可壓縮Euler方程組描述的擴張管道中跨音速激波的唯一性；（2）作為對真實收縮-擴張噴管的一種近似，在一類度量具收縮-擴張性質的曲面上用定常Euler方程組描述的亞音速-超音速流的穩定性和唯一性。要解決的關鍵問題是如何有效地分解定常Euler方程組中的雙曲與橢圓部分，理解它們相互作用的機制，以及如何利用方程中因區域幾何效應而出現的低階項來研究相關混合型方程。

結題摘要

本項目從數學理論角度套用偏微分方程的方法研究了定常可壓縮無粘理想流體中若干特殊流動（如亞音速流、跨音速激波以及跨音速接觸間斷等）的存在性、穩定性和唯一性問題。 本項目中，我們發展了結合激波極線和橢圓型方程極值原理的新方法，證明了兩維定常可壓縮歐拉方程組控制的管道內跨音速正激波，附在無限長楔頂點的跨音速激斜波，以及一類Mach結構中跨音速激波與亞音速接觸間斷的整體唯一性；創新性地結合微分幾何語言對雙曲—橢圓複合—混合型的三維亞音速定常歐拉方程組給出了適當分解，證明了球對稱跨音速激波的局部唯一性，其中發現了帶Venttsel邊界條件的非局部橢圓邊值問題等新現象；結合變分方法及散度形擬線性橢圓型方程的正則性理論，證明了大擴張開口噴管內亞音速無旋歐拉流的存在性；運用間斷跟蹤法及雙曲守恆律BV弱解適定性理論，證明了二維空間分離超音速氣流與靜止氣體的一類跨音速接觸間斷的存在性、穩定性及唯一性；套用高維雙曲型方程組帶特徵自由邊界初邊值問題的理論，解決了Lopatinskii行列式在運算元象徵的極點為零的情形得到能量估計的問題，就定常歐拉方程組證明了在三維情形這類跨音速接觸間斷的弱線性穩定性。 本項目研究的這些特殊流動在氣體動力學中具有典型性，對於認識氣體運動，開展相關數值計算及試驗設計都有重要實際意義。對這些問題的研究涉及非線性雙曲型、橢圓型及雙曲—橢圓複合—混合型方程在各種幾何區域上的特徵或非特徵自由邊界問題，這使得我們所用或所發展的方法和技巧具有較強多樣性和綜合性。這些結果方法具有一定理論價值，有助於增進我們對歐拉方程組的理解，促進相關偏微分方程理論的發展及其他重要問題的求解。