《非線性擴散方程的定性理論》是依託華南師範大學，由尹景學擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性擴散方程的定性理論
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：尹景學
- 依託單位：華南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究來源於幾何、物理、材料和生命科學領域中的一些非傳統非線性擴散方程的基本定性理論，主要研究內容包括以下五個方面：（1）具時滯的非線性擴散方程理論；（2）非局部反應-擴散-對流方程理論；（3）非散度型非線性擴散方程理論；（4）橢圓-拋物和拋物-雙曲混合型方程及方程組的理論；（5）各向異性的擴散-對流方程和對流占有的非線性擴散方程理論。.本項目的研究既能豐富和發展非線性橢圓與拋物方程的數學理論、研究方法和研究技巧，又能為其它學科和實際問題的研究提供強有力的分析工具和重要的理論參考。
結題摘要
在本項目的實施過程中，我們按照研究計畫開展了全面的研究，完成了研究目標，具體的研究成果包括以下幾個方面：(1) 在具時滯非線性擴散方程行波解理論方面，我們考慮了一類含Huxley雙穩態源的時滯退化奇異拋物方程的行波解。不同於經典的線性擴散方程，我們發現對時滯退化奇異擴散方程行波可能會是有限的、半有限的或無限的，而對於有限或半有限行波，又可能會存在sharp波；(2) 在非散度型非線性擴散方程的定性理論方面，考慮了一類非散度型擴散方程的自相似解問題。首先我們對純擴散情形討論了Forward 相似解的存在性問題，確立了一族非熄滅的相似解的存在性，並研究了這類解的奇異性，探討了在時間t趨於無窮時和Dirac函式之間的緊密聯繫。其次，我們研究了一類具非線性負指數源的非線性擴散方程的backward自相似解問題，對非線性源指標進行了分類，討論了不同指數情形下自相似解的存在性於與不存在性結果，並對趨於0的解進一步研究了解在無窮遠處的衰減速率；(3) 在非線性擴散方程最優控制理論方面，對於在局部邊界發生對流的非線性熱交換系統（該系統用發展型p-Laplace方程來描述）的最優控制問題進行了研究，證明了最優控制的存在性、最優系統的必要條件和最大值原理；對於具Logistic增長的邊界退化拋物方程支配系統的最優控制理論進行了研究，首先證明了弱解的適定性，進而得到了反映捕獲成本和收益的目標泛函的最優控制的存在性，特別地，在對偶系統解唯一的基礎上，對最優系統進行了刻畫和分析；(4) 在偽拋物方程解的定性理論方面，我們研究了偽拋物型方程的第二臨界指標和非整體解的life span，並分析了粘性係數對解的漸近行為和爆破時間的影響；(5) 在非線性擴散方程解的漸近行為性質研究方面，我們研究了一般的變化的時空scaling變換對Newton滲流方程解的漸近行為的影響，發現了解漸近行為的臨界scaling指數，並據此scaling變換指數對解的漸近行為作出了完整的分類，得到了當scaling變換指數小於這個臨界指數時，Newton滲流方程解就存在複雜的漸近行為，當scaling變換指數不小於這個臨界指數時，就不會存在複雜的漸近行為。
