《非局部擴散方程的穩態問題與時空傳播》是依託蘭州大學，由李萬同擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非局部擴散方程的穩態問題與時空傳播
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：李萬同
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近年來，在物理、生態學、流行病學等學科的研究中，導出了許多非局部擴散方程，並引起了許多學者如L.Caffarelli和P.C. Fife等的極大興趣並成為熱點問題。由於非局部擴散運算元的非緊性以及解半流較低的正則性，從而導致了許多本質困難，因此對其系統研究是具有重要意義的課題。本項目將致力於非局部擴散方程的穩態問題與時空傳播，主要內容有：研究有界域上非局部擴散運算元的譜理論，包括主特徵值的存在唯一性及對權函式的連續依賴性等重要性質，由此研究方程穩態解的存在性和穩定性；研究無界域上非局部擴散運算元的譜理論，建立行波解的穩定性理論；研究高維空間中方程的非平面波，建立非平面波存在的一般結果並發展相關方法。討論空間非局部作用和時滯對行波解的影響，探討在生物入侵、疾病傳播及材料學中的套用。
結題摘要
近年來，在材料科學、物理、流行病等學科的研究中，導出了大量非局部擴散方程。由於非局部擴散運算元緊性的缺失和正則性理論的不完備，從而使得對其理論及套用的研究面臨較大的困難。本項目利用非線性泛函分析、運算元半群和動力系統理論及偏微分方程的方法研究了非局部擴散方程的穩態問題和時空傳播理論，利用穩態解、行波解、整體解、漸近傳播、交錯擴散等理論給出非局部擴散動力系統的演化機制與特性。在運算元譜理論的研究和穩態解的精確刻畫中，我們得到非齊次問題的特徵值理論與正穩態解的存在、唯一及和漸近穩定性等結果，這些結論描述了非局部方程本身所具有的獨特性質，體現出非局部性、空間非均勻性等因素的本質影響，同時給出了其異於反應擴散方程的主要結果。在非局部擴散方程時空傳播理論的研究中，我們得到了行波解和整體解的存在性、穩定性和唯一性及其它定性結果。這些結論體現出了空間非均勻性和非局部性、高維空間等因素對波傳播速度和方向的不同影響。重要的是，我們構造出幾類新型整體解並研究了整體解對於傳播速度、傳播方向、不同參數等因素的連續依賴性，這對從理論上理解非局部系統全局吸引子結構和系統動力學性態是非常有用的，並且可以很好的描述行波解所不能描述的傳播現象；同時，我們研究了非局部傳染病模型與非局部格動力系統的漸近傳播速度，給出最小波速與傳播速度的關係，證明非局部系統變化因素對漸近速度的影響及對疾病傳播和控制的作用。利用分支理論，研究了非齊次空間中空間退化與不同功能反應函式對捕食者食餌模型的影響，給出正穩態解的全局分歧與漸近穩定性。通過精細的分析技巧，我們證明了空間退化與功能反應同時出現時，會對系統造成完全不同的影響。
