一類兩相流的適定性問題研究

《一類兩相流的適定性問題研究》是依託華南師範大學，由李穎花擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：一類兩相流的適定性問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：李穎花
• 依託單位：華南師範大學

項目摘要

在本項目中，我們研究具擴散界面兩相流中的非線性偏微分方程組的若干問題。 與經典的兩相流模型相比較，本項目所要考慮的具擴散界面的兩相流模型可以更自然地描述兩相流中分界面的拓撲性質，尤其是對分界面出現奇性時的數學刻畫。本項目主要考慮的方程組包括Navier-Stokes/Cahn-Hilliard 耦合方程組和Navier-Stokes/Allen-Cahn 耦合方程組。擬考慮的問題包括：解的適定性、爆破準則、解的漸近性質以及擴散界面厚度趨於零時的漸近極限、自由邊界問題等。本項目擬研究的問題是近年來出現的具有鮮明物理背景的新問題。本項目的研究既能豐富和發展偏微分方程的數學理論，又能為實際問題的研究提供重要的理論參考。

結題摘要

本項目主要研究具擴散界面的兩項流模型、Ericksen–Leslie系統等複雜流體模型、可壓縮Navier-Stokes方程以及一類非線性擴散方程的適定性問題。對於具擴散界面的兩項流模型，我們分別研究了不可壓縮情形和可壓縮兩種情形。對於不可壓縮情形分別研究了模型的變分逼近，弱解和強解的存在性，高維情形下解的爆破準則，以及解的極大緊吸引子等性質。對於可壓縮情形，就一類特殊形式的自由能證明了一維整體經典解、強解的存在唯一性，以及弱解的存在性，也得到了解的弱強唯一性。研究了一維可壓縮Navier-Stokes/Allen-Cahn方程組的自由邊界問題，證明了整體解的存在唯一性。對於複雜流體模型，我們研究了Ericksen–Leslie系統弱解的正則性，具有限個奇性時間的整體弱解的存在性。考慮了一類Navier-Stokes方程和拋物型Q-tensor的耦合系統高維弱解的整體存在性，解對初值的連續依賴性，解的弱強唯一性等、自由邊界問題、爆破準則、解的生命跨度等問題。對於可壓縮Navier-Stokes方程，我們研究了Cauchy問題接觸間斷波的長時間漸近行為，還研究了一類具梯度型位勢和源的高階粘性擴散方程的初邊值問題整體經典解的存在性和唯一性、解的有限時刻爆破等性質。此外，我們還證明了一類具弱非線性周期源的偽拋物方程的非負非平凡周期解的存在性，並討論了當粘性係數趨於零的時解的漸近性態。 本項目研究的問題是近年來出現的具有鮮明物理背景的新問題，本項目的研究結果既豐富和發展了偏微分方程的數學理論,又為實際問題的研究提供重要的理論參考。