《具奇異性非線性擴散方程的定性理論》是依託華南師範大學，由尹景學擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：具奇異性非線性擴散方程的定性理論
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：尹景學
- 依託單位：華南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非線性擴散方程的研究有著相當長的研究歷史和豐富的研究成果，它一直是偏微分方程研究領域的熱點問題。隨著科學技術的飛速發展，自然科學以及經濟和社會等複雜系統的量化研究逐漸深入，非線性擴散方程領域產生的新方程、新問題、發現的新現象層出不窮。 本項目旨在研究具奇性的非線性擴散方程解的定性理論，主要包括以下四個方面的內容：非線性正倒向擴散方程的偽拋物正則化解的定性理論、非線性擴散方程解的複雜漸近性、非平面行波解的定性性質和非散度型擴散方程的定性理論。本項目的研究既能豐富和發展偏微分方程的數學理論、研究方法和研究技巧，又能為其它學科和實際問題的研究提供強有力的分析工具和重要的理論參考。
結題摘要
在本項目的實施過程中，我們按照研究計畫開展了全面的研究，完成了研究目標，具體的研究成果包括以下幾個方面：（1）在偽拋物方程解的定性理論方面，我們考慮了具有一系列小攝動的熱方程的解的漸近行為，這些小攝動包括偽拋物粘性攝動，內部源攝動，內部非齊次攝動以及初值攝動。我們根據非負非平凡周期古典解的存在性，對源指數p進行了完全分類，同時描述了粘性係數趨近於零時周期解的漸近性態。此外我們還研究了具Log型源的偽拋物型方程，發現了Log型源與冪指型源以及線性源的重要區別，研究了含KPP型源的偽拋物型方程的波前解，得到了一定條件下波前解的存在性及局部指數穩定性。（2）在可壓Navier-stokes方程的周期解問題方面，我們考慮了3維無界區域上等熵的可壓Navier-stokes方程的周期解問題這一公開問題，並提出了關於外力的一個對稱性條件，得到周期解的存在性。我們也研究了三維有界區域上周期解的存在性及穩定性並對一可壓液晶流系統確定了含有真空的周期弱解的存在性結果。（3）在雙曲空間上擴散方程的定性問題方面，我們研究了雙曲空間上熱方程的臨界指標問題，表明雙曲空間上問題的臨界指標不是爆破指標而歐氏空間有界域類似問題的臨界指標是爆破指標，揭示了雙曲空間上偏微分方程具有獨特的新現象.（4）在趨化及其耦合模型解的適定性理論研究方面，我們考慮了一類含細胞增生的具滲流擴散的趨化模型的整體解存在性以及一類chemotaxis-fluid 耦合模型的周期解問題，得到了2維有界區域上chemotaxis-Navier-Stokes 模型周期強解的存在性問題及三維chemotaxis -Stokes 耦合模型的周期解。（5）在非線性擴散方程解的漸近行為方面，我們研究了非線性擴散方程尺度解的 極限集與初值的 極限集之間的關係以及非線性擴散方程解的複雜漸近行為，並考慮了Newton滲流方程的解在不同加權 空間中的漸近收斂性。
