《強不定和非緊的變分問題》是依託廈門大學，由劉軾波擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：強不定和非緊的變分問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉軾波
- 依託單位：廈門大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究一些典型的強不定變分問題和非緊變分問題．(1)就勢函式的不同情況，我們研究超線性穩態Schr?dinger方程的非平凡解和多重解的存在性．這裡的勢函式可以在某些地方取負值，因此相應的能量泛函沒有山路幾何結構，需要用與高維環繞相關的臨界點理論工具．這時，為克服沒有Sobolev緊嵌入的困難需要更細緻的分析估計．另外，對非線性項的假設條件不足以保證(PS)序列有界，因此我們使用Cerami序列．(2)由於許多強不定變分問題只滿足Cerami型的緊性條件，我們要研究Cerami型條件下的強不定Morse理論，建立相應的無窮遠處的臨界群的普適的、程式化的計算方法，並用於研究非線性Hamilton系統、波方程的周期解問題．(3)我們還將在一類新的條件下研究半線性橢圓共振問題的臨界群計算及多重解問題，以及擬線性橢圓共振問題非平凡解的存在性．
結題摘要
本項目的背景是臨界點理論及其對各種非線性微分方程問題的套用. 在臨界點理論方面, 我們證明了非緊強不定泛函的廣義鞍點定理; 以及鞍點約化下泛函在孤立臨界點的臨界群與鞍點約化泛函的相應臨界群的關係, 它與我們於2003年和2007年發表的文章中的研究一起, 構成一個系統的理論, 使得兩種鞍點約化下無窮遠處及孤立臨界點處的臨界群的關係完全清楚了, 因此具有比較重要的理論意義. 在非線性微分方程研究方面, 我們研究一些漸近線性周期位勢Schrodinger方程, 超線性和漸近線性橢圓型方程組, 全空間或有界區域中的擬線性方程, 以及非線性Schrodniger-Poisson方程組和Schrodinger-Kirchhoff方程. 特別值得一提的是我們在非線性Schrodniger-Poisson方程組方面取得的成果. 關於這類問題, 以往的研究中只考慮了Schrodinger運算元為正運算元的情形. 可是, 如果我們想得到原時變Schrodinger-Poisson方程組的高能量的駐波解, 則對應的穩態Schrodniger-Poisson方程組中的Schrodinger運算元有負空間. 此時由於非負的非局部項的影響, 變分泛函並不滿足環繞定理的值分離條件, 所以前人對此沒有任何結果. 我們注意到在這種情形下, 變分泛函在原點有局部環繞的構造. 因此運用局部環繞理論, 率先在這種情形下得到非平凡解.
