《變分方法與Dirac系統》是依託江蘇師範大學，由劉笑穎擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：變分方法與Dirac系統
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉笑穎
- 依託單位：江蘇師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
變分法是數學研究的重要領域，其研究對象是具有變分結構的非線性問題，具有重要的理論意義和廣泛的套用背景。本項目擬通過深入研究Dirac系統的若干問題，一方面獲得關於量子力學的新成果，另一方面發展一般的的變分理論。主要探討如下課題：（1）獲得概周期Dirac系統的解的存在性、多重性等結果。（2）擬研究非線性Dirac系統的整體解與爆破解現象、以及其穩態方程的解的存在性、多重性、半經典解的集中現象等。（3）進一步發展強不定問題的變分理論，特別是建立非線性周期Dirac系統的Maslov指標理論，為進一步探討這類強不定問題特別是無窮維Hamilton系統的周期解提供一般理論。
結題摘要
變分法是數學研究的重要領域，其研究對象是具有變分結構的非線性問題，具有重要的理論意義和廣泛的套用背景。本項目涉及的非線性Dirac 方程已被廣泛用於建立非線性 Dirac 場的粒子的相對論模型。Dirac 運算元具有上方與下方均無界的本質譜、空間R^3上的Sobolev 嵌入是非緊的，從而是典型的強不定問題，因此該系統在變分學中“具有挑戰性”。 本項目擬通過深入研究Dirac系統的若干問題，一方面獲得關於量子力學的新成果，另一方面發展一般的的變分理論。本項目主要開展了如下課題的研究：分別研究了漸近線性Dirac方程的周期解，帶有對稱擾動非線性項的Dirac方程的周期解；研究了緊的自旋流形上的非線性 Dirac 方程；研究了非線性Maxwell-Dirac系統以及一類非線性Schrödinger方程。主要在如下方面取得了重要進展：（1）套用變法方法，首次研究並獲得了漸近線性Dirac方程周期解的存在性，首次刻畫了對應運算元的特徵值；（2）首次研究並獲得了帶有對稱擾動非線性項的Dirac方程周期解；（3）研究了緊的自旋流形上的非線性 Dirac 方程的分歧現象，初步獲得到了新的結構；（4）率先研究並獲得了非線性Maxwell-Dirac系統的半經典多重解；（5）深入研究了一類非線性Schrödinger方程的半經典多重解。這些成果均發表在國際知名學術期刊上，豐富了Dirac系統的研究，發展了變分理論。
