《非線性方程中的拓撲與變分方法》是依託江蘇師範大學，由劉笑穎擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非線性方程中的拓撲與變分方法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉笑穎
- 依託單位：江蘇師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬通過發展新的拓撲與變分方法，結合拓撲度理論、分歧理論、極大極小方法、指標理論、極小化方法等研究若干非線性方程,從而為拓撲度理論與變分理論的發展注入新內容、創造新思想、新方法，將在非線性分析理論與套用中有突破。本項目主要研究如下內容：1.把錐理論與格理論相結合，研究無窮維空間非線性運算元的拓撲度計算，進一步豐富拓撲度的計算結果；2.把半序方法與拓撲方法相結合，研究分歧理論與非線性運算元方程解的全局結構；3.把拓撲方法與變法方法相結合，研究非線性橢圓型方程、Dirac 方程、半線性薛丁格方程（組）等非線性微分方程解的存在性、多重性、解的類型、解的分析性質、幾何性質、拓撲性質等。
結題摘要
本項目擬發展新的拓撲與變分方法，結合拓撲度理論、分歧理論、極大極小方法、指標理論、極小化方法等，研究非線性橢圓型方程、Dirac 方程、半線性薛丁格方程（組）等非線性微分方程解的存在性、多重性、解的類型、解的分析性質、幾何性質、拓撲性質等。主要在如下方面取得了重要進展：1.把半序方法與拓撲方法相結合，研究分歧理論與非線性運算元方程解的全局結構，在沒有假定運算元是錐映射，也不要求其在無窮遠點Frechet可微的假定下，獲得了非線性運算元漸進岐點的存在性及它的全局結構。2. 把拓撲方法與變法方法相結合，分別研究了人們十分關心的“競爭”位勢、磁場位勢、臨界非線性，得到一系列半經典解的存在性與集中現象的結果。具體有：(1) 首次刻畫了穩態非線性Dirac方程半經典基態解的存在性以及解的集中現象，進一步研究了更一般的非線性Dirac方程基態解的集中現象；(2) 首次研究了帶有臨界非線性的Dirac系統半經典基態解的存在性與集中現象；(3) 首次刻畫了帶有磁場和臨界非線性項的非線性Schrödinger方程經典解 ；(4) 首次刻畫了非線性Maxwell-Dirac系統半經典基態解的存在性以及解的集中現象；(5) 研究了Dirac–Klein–Gordon系統，得到關於該系統半經典解的存在性與集中現象 。3. 首次研究了非線性Dirac方程周期解的存在性、解的多重性等。分別獲得了Dirac方程在非線性項為次線性、超線性情形下有無窮多周期解的結果；獲得了具有凹凸非線性項的Dirac方程具有無窮多個極大能量周期解以及無窮多極小能量周期解的結果。
