基本介紹
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目套用變分方法、臨界點理論研究幾類非線性變分問題解的存在性和多重性以及解的幾何、分析和拓撲性態。將主要研究非線性擾動項具有線性界的半線性微分方程（橢圓方程、Hamilton系統等）的非平凡解；研究具有奇異位勢的非線性薛定鄂方程的基態解、束縛態解的存在性以及解的集中現象；建立帶有無界和衰減的加權函式的Soblev型嵌入定理和嵌入不等式，進而研究退化和奇異擬線性橢圓方程和方程組的解的存在性和解的分析、幾何性態和關於嵌入不等式的極值函式的性質；研究擬線性橢圓邊值問題的多解存在性。本項目的選題切入變分理論的國際研究前沿，所選問題是近年來國際上的熱門研究課題，具有重要的理論意義和研究價值。我們期望通過本課題的研究，推進非線性分析理論與套用的發展。
結題摘要
本項目套用極大極小方法、Morse理論、指標理論、分歧理論、嵌入理論等非線性分析的理論和方法，先後對半線性橢圓系統、半線性橢圓方程、擬線性橢圓方程、超線性Hamilton橢圓系統問題、半線性薛丁格-泊松方程、擬線性薛丁格方程、帶有徑向位勢的Kirchhoff方程、描述非線性光學中二次諧波模型的薛丁格方程組、Caffarelli-Kohn-Nirenberg型橢圓方程等變分問題開展研究，涉及了非線性微分方程變分解的存在性、唯一性、多解性、解的分析性質、幾何性質、拓撲性質。 套用Morse理論建立了梯度系統的共振問題和超線性問題、半線性橢圓方程的共振問題，p-Laplace方程和p-Kirchhoff方程等擬線性橢圓型方程的多解問題；套用臨界點定理研究了Orlicz-Sobolev空間上的擬線性橢圓非齊次問題； 建立了徑向函式帶權Sobolev空間到帶權L^1空間的緊嵌入定理，研究了帶有無界和衰減位勢的擬線性薛丁格方程解的存在唯一性；建立了局部Lipschitz連續泛函的多臨界點定理，結合帶權Sobolev空間到帶權L^1空間的緊嵌入定理，研究了全空間上具有不連續非線性項的擬線性橢圓問題的分布解的存在性；建立了R^3空間中有徑向位勢的Kirchhoff方程的多平凡解結果；通過對徑向對稱的係數函式提出衰減或增長條件，建立了徑向Sobolev空間到帶權L^p空間的緊嵌入，研究了散度形式的擬線性橢圓型方程解的存在性和多解性。 研究了Schrodinger-Possion方程在位勢函式的不同情形下解的存在性、無窮多解的存在性、半經典解的存在性與集中性，對於帶有凹凸非線性項的情形，獲得了問題無窮多解的存在性； 研究了帶有臨界項的與Caffarelli–Kohn–Nirenberg 不等式相關的橢圓方程解的存在性和非存在性和哈密爾頓型的Schrodinger 方程組基態解的存在性和多解性。研究了非線性光學中的二次諧波模型，獲得了方程組基態解的存在性、部分唯一性和參數變化時解的分歧性質。 研究成果形成學術論文19篇，在15種國際重要期刊上發表，其中SCI期刊論文18篇，權威核心期刊論文1篇。研究結果揭示了具體變分問題的新現象，延拓和擴展的研究課題的範圍，發展了變分方法的新理論，開闢了新的研究課題。研究成果被受到了國際同行的關注和引用。項目的實施促進了學術梯隊的建設和研究人才的培養。
