最優運輸中幾類非線性偏微分方程和變分問題的研究

《最優運輸中幾類非線性偏微分方程和變分問題的研究》是依託南京理工大學，由楊孝平擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：最優運輸中幾類非線性偏微分方程和變分問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊孝平
• 依託單位：南京理工大學

項目摘要

本課題擬深入研究最優運輸中幾類非線性偏微分方程和變分問題，運用偏微分方程、最最佳化理論、測度論和幾何分析的思想和方法，對幾類一般的費用(cost)函式和運輸空間，建立相應的最優運輸問題最優映射的存在性，給出經典的Monge問題解的唯一性條件，研究費用函式的勢函式所滿足的Monge-Ampère方程的解的性質，建立最優映射及其勢函式的Sobolev正則性和幾何刻畫等。最優運輸問題起源於古老的Monge問題，它不光與偏微分方程、變分學、微分幾何、機率論、流體力學、動力系統和無窮維線性規劃等緊密相關，而且在計量經濟學、自動控制、統計物理、圖像處理、城市規劃、宇宙學和氣象學等領域中有重要套用，已越來越引起人們的廣泛關注和重視。開展本課題的研究，可進一步揭示最優運輸問題中費用函式、運輸區域和空間、最優映射之間的內在關係，豐富偏微分方程、變分學和幾何分析的理論和套用。

結題摘要

研究了距離費用函式具有凸約束的最優運輸問題，證明了2維情形具有嚴格凸約束的Monge問題的最優傳輸映射的存在性和唯一性，給出了存在性和唯一性的充分條件，之後得到了具有可數了平坦部分的凸約束的問題的存在性；證明了n維情形這類Monge-Kantorovich問題的最優傳輸映射的存在性；並通過構造具體的例子說明一般的凸約束運輸問題的解沒有唯一性。討論了半球面上的質量傳輸問題，得到了Monge問題解的存在性和唯一性的充分條件。分別研究了最優傳輸問題所對應的Monge-Ampere型方程、Hessian方程的Dirichlet問題、斜微商問題,給出了解的直到二階導數的先驗估計，達到了經典解的存在性和唯一性。研究了Heisenberg群的H-調和函式和H-p-調和函式（即水平p-調和函式）。利用H-調和函式的頻率函式，套用幾何測度論和複分析理論，建立了H-調和函式的零點集的測度估計；定義了Heisenberg群上函式的水平奇異集和j水平奇異集，得到了Heisenberg群上的j階水平齊次多項式的j水平奇異集的幾何結構，從而建立H-調和函式的水平奇異集的幾何結構。研究Heisenberg群上次p-Laplace方程和拋物型次p-Laplace方程和粘性解的漸近平均值公式，證明了粘性解和漸近平均值公式的等價性，建立了H-調和函式的增長性和次橢圓方程解的唯一延拓性。