凸約束最佳化中的若干非線性方程與不等式問題的研究

《凸約束最佳化中的若干非線性方程與不等式問題的研究》是依託上海師範大學，由曾六川擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：凸約束最佳化中的若干非線性方程與不等式問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：曾六川
• 依託單位：上海師範大學

項目摘要

運用Banach空間幾何學、線性拓撲空間理論、Banach空間中非線性逼近理論、不動點理論等現代分析的理論與方法，研究凸約束最佳化中的若干非線性方程與不等式問題的理論和算法，即研究兩個方面：(1)凸約束最佳化中的若干非線性方程解的存在性與疊代算法；(2)凸約束最佳化中的若干非線性不等式問題解的存在性與疊代算法．本項目將為凸約束最佳化中疊代算法的研究提供新方法和新途徑，並為現行數學技術提供強有力的工具，也為泛函空間中的運算元逼近理論的研究和套用帶來動力．本研究課題，是理論性和套用性都很強的邊緣性交叉課題．在偏微分方程、力學、最最佳化與控制、運輸與經濟平衡、電路與結構分析、以及數學與工程科學中許多別的分支學科等方面都有著廣泛套用．

結題摘要

自2011年以來，本課題一直致力於研究凸約束最佳化中一些非線性方程與不等式問題的理論與算法．具體地說，利用廣義f-投影運算元的性質與熟知的KKM 定理、Kakutani-Fan-Glicksberg定理，建立了自反的光滑Banach空間中廣義集值混合(擬-)變分不等式解的一些存在定理；構造了一些具強收斂性的鬆弛與混合粘性疊代法，用於解Hilbert 空間中變分不等式一般系統、分裂可行問題及嚴格偽壓縮映像不動點問題；建議了具強收斂性的混合粘性疊代法，用於解具一致Gateaux可微範數的一致凸Banach空間中變分不等式一般系統與無限族非擴張映像公共不動點問題；設計了具強收斂性的三步Mann疊代法，用於解一致光滑或具有弱連續對偶映像的一致凸Banach空間中變分不等式一般系統與無限族非擴張映像公共不動點問題；構造了具強收斂性的混合粘性CQ疊代法，用於解Hilbert 空間中變分不等式、變分不等式一般系統及依中間意義一致連續漸近嚴格偽壓縮映像的不動點問題；引入了具強收斂性的兩步鬆弛外梯度法，用於解2-一致光滑的或具有一致Gateaux可微範數的一致凸Banach空間中變分不等式一般系統與無限族非擴張映像公共不動點問題；引入了具正則化的多步隱式疊代法，用於解Hilbert 空間中凸連續的Frechet可微泛函的極小化問題與無限族非擴張映像公共不動點問題，並推導了強收斂；建議了具強收斂性一般疊代法，用於解具弱序列連續的廣義對偶映像的q-一致光滑且一致凸的Banach空間中變分不等式系統與無限族非擴張映像公共不動點問題；把混合最速下降法、粘性逼近法及梯度投影算法的平均映像途徑結合起來，設計了具強收斂性的疊代法，用於解Hilbert空間中的三重分層變分不等式．因此，對照課題申請書，所取得的成果，表明課題要求已順利完成．