增廣拉格朗日問題的套用研究

《增廣拉格朗日問題的套用研究》是依託山東師範大學，由劉茜擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：增廣拉格朗日問題的套用研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉茜
• 依託單位：山東師範大學

項目摘要

增廣拉格朗日問題是最最佳化研究中的一個重要的課題，它是拉格朗日問題的推廣與發展。拉格朗日問題為分析和解決凸約束最佳化問題起到了重要的作用。增廣拉格朗日將拉格朗日函式在凸約束最佳化問題中所得到的重要結論套用到一般的等式不等式約束最佳化問題中。本項研究的目標是將增廣拉格朗日套用到包含數學模型更多的半無限規劃和錐規劃中。具體地， (1) 研究增廣拉格朗日函式在半無限規劃中精確罰參數存在的充分必要條件和鞍點存在的條件。(2) 對廣義半無限規劃建立它的增廣拉格朗日對偶規劃。(3)研究增廣拉格朗日函式在半定規劃和對稱錐規劃中所具有的對偶性質。(4) 研究設計出求解半定規劃的增廣拉格朗日有效算法。

結題摘要

增廣拉格朗日對偶問題的建立對最最佳化問題的求解以及最優性條件的揭示都有著重要作用。本項目主要研究了增廣拉格朗日函式在各類最佳化問題中的對偶性質，在此基礎上建立了最最佳化問題的有效算法。具體地，（1）對一般的擴充實值函式的最小化基本問題，建立了它的非線性增廣拉格朗日對偶問題的一個統一框架。這個框架包含了已有的許多增廣罰函式。在不需要強制性條件與在零點的半連續性假設的條件下建立了零對偶間隙與精確罰表示存在性的充分與必要條件。對帶有等式和不等式的約束最佳化問題，在適當的條件下建立了增廣拉格朗日函式的無約束問題與原問題的局部和全局極小值點之間的關係。（2）對不等式約束的最佳化問題建立了光滑罰函式算法，得到疊代點列的函式值收斂到最優值的充要條件是擾動函式在零點是下半連續的。進一步，在解集是非退化或者弱強極小的性質下，研究了算法的有限步收斂性。將上述結果推廣到半無限規劃問題，得到了半無限規劃問題的增廣拉格朗日算法和光滑罰函式算法。在很一般的條件下，得到了算法的全局收斂性和函式值收斂到最優值的充要條件。並且研究了算法的有限步終止性質。（3）對箱約束半光滑方程，給出了一類光滑SQP方法。在不需要等式系統生成的相應目標函式連續可微的條件下，證明了算法的全局收斂性，分析了疊代點列的收斂特徵。進一步，在局部誤差界條件下，證明了算法具有超線性收斂速率。注意到，廣義半無限規劃問題可以通過KKT系統轉化為一個半光滑方程系統。我們將對半光滑方程算法的研究結果套用到半無限規劃問題中，建立了一類光滑L-M算法，並證明了該算法的全局收斂性和局部超線性收斂性質。