《若干非線性變分問題的研究》是依託北京師範大學，由唐仲偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：若干非線性變分問題的研究
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：唐仲偉
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
對非線性變分問題的研究是國際數學界、非線性分析領域中一個非常活躍的研究方向。本項目的主要目的是對幾類有很強套用背景的非線性橢圓型方程及方程組解的存在性，漸近行為等定性性質進行研究。具體來講，我們首先利用變分法研究幾類非線性薛定鄂方程及方程組，討論其正解，變號解以及多解的存在性、漸近行為等； 然後研究Kirchhoff 類型的偏微分方程， 討論其基態解，多解的存在性及漸近行為。最後我們研究幾類分數階偏微分方程，通過討論其對應的局部問題，我們利用變分法研究其基態解，多峰解存在性及漸近行為。對這些問題的研究，不僅涉及到非線性分析，而且也涉及到拓撲等理論分支。因此，我們的研究不僅可以回答很多套用問題，也可以推動一些數學理論分支的發展。
結題摘要
在項目執行過程中基本按照原計畫進行. 鑒於學科本身特點, 在項目的具體實施過程中可能會有時間上的偏差.另外預期結果中有的比原有結果更完善,有的可能會沒有預期的那么完美.總體來說, 項目進展順利。獲資助以來的取得的重要進展和研究成果歸納如下:（1）我們研究了一類具有臨界指數的擬線性薛丁格方程和方程組解的存在性和多解性結果（2）我們研究了一類具有臨界頻率的擬線性方程。綜合套用變數替換、截斷和極大極小原理等思想方法，我們在臨界頻率的假設條件下，得到了多峰解的存在性和解的集中現象。（3）用截斷方法結合次臨界逼近以及Lp正則逼近思想，我們研究了定義在全空間上的一般擬線性臨界方程無窮多解的存在性。（4）我們研究了一類定義在全空間上的臨界擬線性 Schrödinger 方程組，通過變分的方法，證明了正基態解的存在性，以及當參數λ充分大時，這些解集中現象。（5）我們研究了一類奇異擾動臨界擬線性 Schrödinger 方程，通過變數替換與變分的方法，我們不僅證明了正基態解的存在性及其集中行為，而且得到了多重正解的存在性及其相應的集中行為，（6）我們利用構造性方法結合Lyapunov-Schmidt約化方法，得到一般具有臨界增長的多重調和運算元方程無窮多非徑向解的存在性。 （7）通過借鑑Schmit有限約化方法的思想，用構造性方法研究具有臨界指數增長的多重調和Henon方程無窮多非徑向對稱解的存在性。（8）利用Benci偽指標理論以及Nehari方法，我們先後探究了三類非局部橢圓方程，即分數階Schrödinger方程、Choquard方程以及分數階Choquard方程的解的多重性以及正基態解的存在性、收斂性、集中性和衰減性。 (9) 我們對一類具有臨界指數的分數階Laplace方程，通過建立合適的Pohozev恆等式，並精確估計其中各項，進而證明了這類方程解的局部唯一性。(10) 我們研究了一類臨界Grushin型問題，通過套用Lyapunov-Schmidt約化的方法證明了該問題有無窮多柱狀對稱的正多峰解。
