非線性變分理論的若干前沿課題

《非線性變分理論的若干前沿課題》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由丁彥恆擔任項目負責人的重點項目。

基本介紹

• 中文名：非線性變分理論的若干前沿課題
• 項目類別：重點項目
• 項目負責人：丁彥恆
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

變分法是國際上數學研究的重要領域，研究對象是具有變分結構的非線性微分方程。這些方程來自數學物理、生物工程、經濟理論等科學領域，具有重要的理論和套用背景。本項目整合創新資源，擬套用極大極小方法、Morse理論、指標理論、分歧理論、極小化方法等變分和拓撲方法研究非線性變分問題中若干前沿課題；利用局部凸拓撲建立形變，發展強不定泛函的臨界點理論；研究非線性Dirac方程、半線性薛丁格方程（組）、擬線性橢圓型方程、Hamilton系統等具有變分結構的微分方程解的存在性、多重性、解的類型、解的分析性質、幾何性質、拓撲性質。通過對這些課題的研究，為變分理論的發展注入新內容、創造新思想、新方法，力爭在非線性分析理論與套用中有重要突破。

結題摘要

摘要 項目集中團隊的整體力量，獲得了1項突破性成果、解決了2個公開問題、及取得了多項重要成果。已正式發表論文60餘篇，投刊或整理中論文多篇。 論文被引用率顯著提升，據美國數學會MathSciNet網站顯示，2008/07/05 — 2013/02/18項目組成員（6人）論文被引用2150次：2008/07/05統計數1170次、2013/02/18統計數3320次，即:【4年半增量2150次】＞【之前多年數1170次】。 非線性迪拉克方程半經典解的存在性與集中現象研究取得突破性成果。 薛丁格和迪拉克系統是量子力學的兩個基本數學模型。為描述量子力學過渡到經典力學，量子系統的半經典解具有重要的物理意義。多年來非線性薛丁格方程被廣泛研究，成果斐然。相較而言，因迪拉克運算元的上下方都是無界的本質譜，所以迪拉克問題半經典解的存在性與集中現象研究十分困難，“在變分學中具有挑戰性”，受到人們的特別關注，但長期沒有類似結果。 我們這方面的工作是突破性的，證明了最小能量半經典解的存在性，分別描述了集中於非線性位勢的最大點集、線性位勢的最小點集、及競爭位勢間的適當集合等的現象；並指出當空間變數適當移動後這些半經典解趨於極限方程的最小能量解。研究中，我們發展了強不定問題的臨界點理論，如強不定泛函的Mountain-Pass導出、Nehari技巧的延伸等。特別，首次引入了“強不定二次型最佳嵌入常數”，它對於強不定問題如同Sobolev 嵌入常數之對於二階PDE一樣有著同等的基礎性作用。 Lotka-Volterra競爭方程組和自由邊界問題研究取得重要進展。解決了數學家 S. Terracini 關於Bose-Einstein 凝聚態薛丁格方程組的公開問題: 兩個態的Bose-Einstein 凝聚態方程組的解的差的極限滿足一個極限方程；證明了Terracini猜想：奇異競爭極限方程組的解具有最小能量。 推進了擬線性問題的研究。特別是獲得: Monge-Ampere 方程研究新進展; 橢圓運算元的Fucik譜與非線性薛丁格方程的多解、變號解新成果; 一個更弱光滑性下的隱函式存在性定理的建立；建立了一系列徑向函式空間帶權Sobolev型嵌入定理，研究了帶權非齊次擬線性橢圓問題徑向解的存在性；在一類扭轉非線性條件下，獲得了有界區域上非線性橢圓型方程和橢圓型方程組多個解的存在性等。