《現代變分理論的若干問題研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由丁彥恆擔任項目負責人的重點項目。
基本介紹
- 中文名：現代變分理論的若干問題研究
- 項目類別：重點項目
- 項目負責人：丁彥恆
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
變分法是國內外數學研究的重要領域。變分法的研究對象是具有變分結構的非線性微分方程，這些方程來自數學物理、生物工程、經濟理論等學科，具有重要的理論意義和廣泛的套用背景。本項目集中團隊的整體力量，在理論和套用兩方面開展合作研究，擬套用極大極小方法、Morse理論、指標理論、分歧理論、極小化方法等變分和拓撲方法，研究非線性分析中若干前沿課題。具體地說，擬利用局部凸拓撲建立泛函的水平集之間的形變，並發展強不定泛函的臨界點理論；擬針對無窮維哈密頓系統、擬線性橢圓型方程和非線性薛丁格方程組發展相應的臨界點理論；擬研究非線性Dirac方程、擬線性橢圓型方程、半線性薛丁格方程（組）、Hamilton系統等具有變分結構的微分方程解的存在性、多重性、解的類型、解的分析性質、幾何性質和拓撲性質等。通過研究這些問題，本項目將為變分理論注入新內容、新思想和新方法，力爭在非線性分析理論與套用的研究中有重要突破。
結題摘要
我們發揮團隊的整體力量，按計畫執行， 獲得理想成果。已正式發表論文83餘篇。論文被引用率顯著提升，據美國數學會MathSciNet網站顯示，2013/07/05—2018/12/9項目組成員（7人）論文被引用4226次(2013/07/05統計數2832次、2018/12/9統計數7058次)。項目組成員組織3個定期學術討論班，培養42名研究生（23名博士、15名碩士、4名博士後）。變分法是國際上數學研究的重要領域，研究對象是具有變分結構的非線性微分方程。這些方程來自數學物理、生物工程、經濟理論等科學領域，具有重要的理論和套用背景。本項目研究的重要成果主要包含下面6個方面：（1）一個重大突破 (Dirac方程半經典解的存在性與集中現象)；（2）一個特色方向成形（強不定問題的變分方法）；（3）不可壓歐拉方程定常渦解的研究；（4）多方面推廣和改進了Clark定理、橢圓型偏微分方程變號解的研究；（5）波方程和Monge-Ampere方程組；（6）多項非線性問題及其他問題的重要進展.
