《變分方法與非線性偏微分方程前沿問題》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由李樹傑擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：變分方法與非線性偏微分方程前沿問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李樹傑
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬套用現代非線性分析的變分方法和拓撲方法等多種工具研究以下重要問題: 1.Bose-Einstein凝聚態和非線性光學中的變分問題，Schr?dinger 方程(組)解的存在性、性質，多參數分歧結構； 2.自由邊界問題和生物種群競爭極限系統中的變分問題; 3. 弱光滑泛函的 Morse理論與擬線性橢圓方程,發展新的Banach空間Morse理論;4.極大極小理論進一步發展和 Fucik 譜; 5.Kirchhoff-type 非局部問題多解、變號解存在性，相應的特徵值問題. 本項目是當前國際上的前沿課題, 是我國數學研究的強項之一, 是非線性分析領域中十分活躍的方向,具有深刻的物理、幾何、生物學背景，因而具有重要的理論意義和研究價值，這些問題的解決將極大的推進非線性分析理論與套用的發展。
結題摘要
本項目套用現代非線性分析的變分方法和拓撲方法等多種工具研究以下重要問題: 1.Bose-Einstein 凝聚態和非線性光學中的變分問題，Schrodinger 方程(組)解的存在性、性質及譜結構； 2.自由邊界問題和生物種群競爭極限系統中的變分問題; 3. 弱光滑泛函的 Morse 理論與擬線性橢圓方程,發展新的Banach 空間Morse 理論;4.極大極小理論進一步發展和 Fucik 譜;5.Kirchhoff-type 非局部問題多解、變號解存在性，相應的特徵值問題. 本項目是當前國際上的前沿課題, 是我國數學研究的強項之一, 是非線性分析領域中十分活躍的方向,具有深刻的物理、幾何、生物學背景，因而具有重要的理論意義和研究價值，這些問題的解決將極大的推進非線性分析理論與套用的發展。 重要的結果包括：發現一種新的更一般形式的同調環繞，這種環繞本質上利用了Nehari流形的結構, Benci-Rabinowitz廣義鞍點方法只能得到一個環繞結構，而我們的方法在理論上可以提供多個環繞結構。更重要的是用同調論我們可以區分得到的臨界點，因此這一方法為尋求多解提供了新途徑。利用這種一般形式的環繞、Laplace運算元相鄰本徵值(記重數)的縫隙以及超線性增長性質之間的關係我們獲得了第四個非平凡解。利用偶泛函的指標理論與極小極大原理，並結合Galerkin逼近方法，獲得高維波方程無窮多個徑向對稱周期解存在性結果;率先利用分歧理論、變分方法研究了來自光學和凝聚態物理理論的帶有線性和非線性耦合的非線性薛丁格方程組獲得解的存在性、參數依賴性。
