《強不定變分方法在若干非線性問題中的套用》是依託吉林大學，由魏元鴻擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：強不定變分方法在若干非線性問題中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：魏元鴻
- 依託單位：吉林大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究強不定變分方法在若干非線性問題中的套用。具體的問題包括非線性Schr?dinger方程、Choquard-Pekar方程以及帶有磁場的Schr?dinger方程。對非線性Schr?dinger方程，我們研究運算元本質譜包含0的非線性問題，分別討論超線性及漸近線性情形解的存在性及多重性。在超線性情形，我們減弱經典的Ambrosetti-Rabinowitz條件，使得結果可以套用於更一般的非線性問題。在我們的假設下，經典的(PS)條件一般不能滿足，我們使用Cerami序列進行論證。此外，還將研究Choquard-Pekar方程以及帶有磁場的Schr?dinger方程，分別討論帶有非局部項或者磁場的問題解的存在性及多重性。這些問題出現在電磁學，量子物理，量子化學，Bose-Einstein凝聚，等離子物理，非線性光學等套用領域，具有很好的理論意義和套用價值。
結題摘要
上世紀九十年代以來，強不定問題變分方法引起了研究者的廣泛關注。這類問題來源於各種數學物理問題，比如非線性Schrodinger方程、非線性Hamilton系統、非線性Dirac方程以及非線性擴散系統等。在這些問題中，由於運算元負空間是無窮維的，難以在研究中套用Morse理論等經典方法，因此成為非線性分析領域具有挑戰性的課題。經過國內外數學家近二十年的不懈努力，強不定問題的研究得到了很好的發展，但是仍有很多有意義的問題有待進一步研究。同時，隨著交叉學科的不斷發展，新的問題大量湧現。因此，進一步研究強不定變分理論在交叉領域的套用，使其在更多自然科學的非線性問題中發揮作用，具有深遠意義。 本項目研究強不定變分方法在若干非線性問題中的套用。具體的問題包括非線性Schrodinger方程、Choquard-Pekar方程以及帶有磁場的Schrodinger方程。對非線性Schrodinger方程，我們研究運算元本質譜包含0的非線性問題，分別討論超線性及漸近線性情形解的存在性及多重性。在超線性情形，我們減弱經典的Ambrosetti-Rabinowitz條件，使得結果可以套用於更一般的非線性問題。在我們的假設下，經典的(PS)條件一般不能滿足，我們使用Cerami序列進行論證。此外，還將研究Choquard-Pekar方程以及帶有磁場的Schrodinger方程，分別討論帶有非局部項或者磁場的問題解的存在性及多重性。項目完成了多篇研究論文，部分已經發表在國際認可的學術期刊，得到國內外同行的引用與關注。同時還有一些成果已經投稿。
