《變分方法和幾何奇異攝動理論及其在微分方程中的套用》是依託江蘇師範大學，由林曉潔擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：變分方法和幾何奇異攝動理論及其在微分方程中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：林曉潔
- 依託單位：江蘇師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
微分方程是研究力學、天文以及物理等自然科學的強有力工具。運用變分方法和幾何奇異攝動理論研究非線性微分方程是當前微分方程的一個非常活躍的課題。本項目擬開展如下研究：.1、運用變分方法得到新的臨界點定理,推廣一些臨界點定理，在此基礎上研究非線性微分方程邊值問題解、正解和多個正解的存在性；2、把多個臨界點定理有機結合，利用極小極大原理以及Mosre理論等研究二階Hamilton系統、擬線性微分方程和橢圓型微分方程特徵值問題；3、運用幾何奇異攝動理論研究快慢動力系統的動力學特性，結合不變流形理論，研究高維動力系統的動力學特性。.本項目將對非線性微分方程的發展起促進作用，也將豐富和擴展臨界點理論與奇異攝動理論的套用範圍，具有重要的意義。
結題摘要
本項目運用奇異攝動理論和上下解方法研究具有非線性邊界條件的三階微分方程奇異攝動邊值問題，通過構造合適的強非線性微分方程的上下解，得到了解的存在性、唯一性，並給出了攝動解的一致有效的漸近估計；綜合運用幾何奇異攝動理論、線性鏈技巧和Fredholm定理等，研究不含時滯、帶有局部時滯核心和帶有非局部時滯核心的三種情況下的廣義KdV-mKdV 方程，得到了該方程在三種情況下行波解的存在性；運用攝動方法研究含有雙參數的厄爾尼諾南方濤動時滯海-氣振子模型和厄爾尼諾/拉尼娜南方濤動大氣物理海-氣振子模型，得到模型的漸近解，並通過數值模擬說明漸近解具有很好的精確度；運用Ricceri臨界點定理、拓撲度理論等研究非線性微分方程多點邊值問題，得到了多解的存在性；運用迭合度理論研究核空間維數為三的情況下的三階非線性微分方程共振邊值問題，克服一個很強的限制條件，得到了解的存在性；運用迭合度理論證明了時滯競爭捕食動力系統的持續生存, 正周期解的存在性, 唯一性與全局漸進穩定性等；運用微分不等式理論、比較原理和分析技巧等，並構造恰當的Lyapunov泛函，得到了多種群競爭捕食系統概周期解的存在性、唯一性以及全局漸近穩定性。 項目組在科學出版社出版專著《奇異攝動中的微分不等式理論》1部，本書系統介紹了研究奇異攝動問題的微分不等式理論和方法，運用微分不等式理論研究常微分方程奇攝動問題，時滯方程與偏微分方程奇攝動問題以及微分不等式理論的新發展以及一些套用實例。在《Appl. Math. Modelling》、《Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S》、《J. Comput. Appl. Math.》、《Appl. Math. Comput.》、《Appl. Math.》等期刊上發表學術論文22篇，其中被SCI檢索19篇；項目組培養10名碩士研究生，並獲得2013年度江蘇省優秀碩士學位論文和江蘇師範大學優秀碩士學位論文各1篇。
