《幾類橢圓型方程的變分法研究》是依託北方工業大學，由孫明正擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：幾類橢圓型方程的變分法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：孫明正
- 依託單位：北方工業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將套用變分方法和臨界點理論研究幾類非線性變分問題的多解性，以及解的拓撲、幾何和分析性態等。研究內容包括：(1) 擬線性橢圓變分問題，此類問題可以用來刻畫非牛頓流體、非線性彈性問題以及孤立波的傳播現象等，我們將利用極小極大定理、Morse理論等變分方法研究非平凡解的存在性和多解性；(2) Schrodinger-Poisson方程，此類方程在量子力學、半導體理論等領域有著廣泛的套用，我們將研究非線性項帶有凹凸項時多個正解及無窮多解的存在性，以及研究不同的位勢函式對方程解的存在與幾何性質的影響等。本項目所選課題是我們在近年來研究中所遇到的新問題，具有重要的理論意義和研究價值。我們期望通過本課題的研究，推進非線性分析理論與套用的發展。
結題摘要
本項目將套用變分方法和臨界點理論研究幾類非線性變分問題的多解性，以及解的拓撲、幾何和分析性態。研究內容包括：(1)擬線性橢圓變分問題，此類問題可以用來刻畫非牛頓流體、非線性彈性問題以及孤立波的傳播現象等，我們將利用極小極大定理、Morse理論等變分方法研究非平凡解的存在性和多解性；例如，在發表的一篇文章中，論文計算了擬線性橢圓型方程在0點共振時的臨界群，並且我們只在0點加條件在無窮遠處除了次臨界增長外不附加任何的條件。(2)另一個研究對象是薛丁格泊松系統，此類系統在量子力學、半導體理論等領域有著廣泛的套用，我們將研究非線性項帶有凹凸項時多個正解及無窮多解的存在性，以及研究不同的位勢函式對方程解的存在與幾何性質的影響等。例如，在已經發表的文章中，對於Schrödinger-Poisson系統假設非線性項包含凹凸項，但非線性項是超臨界增長的條件下得到方程無窮多解的存在性。其中最關鍵的技術是要根據系統中的Poisson項獨有的性質得到泛函的緊性條件。本項目所研究課題是我們在近年來研究中遇到的新問題，具有重要的理論意義和研究價值。
