一類半線性橢圓方程解的零點集的測度估計

《一類半線性橢圓方程解的零點集的測度估計》是依託南京理工大學，由田龍擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：一類半線性橢圓方程解的零點集的測度估計
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：田龍
• 依託單位：南京理工大學

項目摘要

本項目擬研究一類二階半線性橢圓型方程的解的零點集的測度估計的問題。我們希望通過調和分析，偏微分方程理論，變分法，複分析，幾何分析以及幾何測度論的方法，運用積分幾何公式，等周不等式等工具，來估計該類方程的解的零點集的上界以及下界。對橢圓型方程解的零點集的研究是偏微分方程理論中的重要組成部分，也是橢圓型方程中的熱點問題之一。二階半線性橢圓型方程是非線性方程當中非線性程度較低的一種方程，其二階項與線性橢圓方程相同。所以對這類方程的解的零點集的研究，既與線性橢圓方程的解的零點集的研究方法有所區別，又可以借鑑線性方程的研究方法。這就給我們的研究提供了參考和一些思路。通過對上述二階半線性橢圓型方程的零點集的研究，可以推廣對零點集的研究結果，進而豐富偏微分方程的理論。

結題摘要

本項目研究了如下的一些問題並得到了相應的結論。 1、 Grushin球面調和函式的零點區域的問題。結論為，對於k階球面齊次Grushin調和函式而言，當k不是4的倍數時，其零點區域的下界為2；當k是4的倍數時，其零點區域的下界至少為3。該結論已形成論文，並發表於 Nonlinear Analysis。 2、 多重函式的零點集測度估計問題。我們給出了歐氏空間中k重調和函式的頻率函式及其性質，即頻率函式的單調公式，以及相應的雙條件不等式，並給出了k重調和函式零點集的測度估計為與k重調和函式的k個頻率函式的和成正比。該結論已經形成論文，並投稿至Chinese Annals of Mathematics，已接收。DOI號為：10.1007/s11401-007-0001-x。 3、 雙Laplace運算元特徵函式零點集的測度估計。我們考慮歐氏空間中，區域邊界光滑且分片解析，但在有限個n-2維子流形上不解析的情況。我們將雙Laplace運算元的特徵方程改寫為兩個方程組成的方程組，並就這個方程組展開分析，定義了相應的頻率函式，雙指標，並給出了頻率函式的單調公式，以及特徵函式的雙條件不等式，並得到頻率函式在遠離不解析部分和接近不解析部分的上界估計，並由此給出了特徵函式的零點集的測度估計。該結論已經寫成論文，投稿至Calculus of Variations and Partial Differential Equations，並上傳至arXiv，編號為arXiv:1709.00153。 4、 帶Robin邊界條件的Laplace運算元的特徵函式的零點集估計。我們考慮了歐氏空間中Laplace運算元的帶Robin邊界條件的特徵函式的零點集的測度估計。當區域邊界解析時，我們得出結論，其零點集的上界與Robin邊界條件中的常數無關；當區域邊界光滑，分片解析，但在有限個n-2維子流形上不解析時，我們給出了一個零點集的上界估計，該估計與特徵值和Robin邊界條件中的常數的關係有明確的表達式。該結論已經寫成論文，投稿至Mathematische Annalen，並上傳至arXiv，編號為arXiv:1801.02114。 5、 光滑流形上雙調和函式的零點集的測度估計。我們給出了光滑流形上，雙調和函式零點集的估計。該結論已經寫成論文，正在修改中。