偏微分方程中的等周不等式及其相關問題的研究

《偏微分方程中的等周不等式及其相關問題的研究》是依託湖南師範大學，由戴求億擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：偏微分方程中的等周不等式及其相關問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：戴求億
• 依託單位：湖南師範大學

項目摘要

等周問題在數學的發展中具有很重要的地位。該問題最早起源於幾何，目前已散見於數學的許多分支。本項目研究偏微分方程中的等周問題，特別關注k-Hessian 運算元Dirichlet第一特徵值上、下界的等周估計和第一特徵函式積分模的等周估計等等。同時，還關注在研究上述估計時派生出來的一些重要問題，如：第一特徵值的Brunn-Minkowski不等式、最優形狀的光滑性以及超定問題的對稱性等等。因為在處理線性和擬線性問題中行之有效的Schwarz對稱化方法不能套用於完全非線性問題,我們採用變分方法來估計k-Hessian 運算元特徵值的下界。這一方法要求對最優形狀的光滑性和超定問題的對稱性進行深入的研究。同樣，為了克服Schwarz對稱化方法不能套用的困難，我們將運用第一特徵值的Brunn-Minkowski不等式來導出特徵值的上界估計。這一方法是本項目的獨創，可用於發現偏微分方程中更多的等周估計。

結題摘要

本項目的主要研究內容包括偏微分方程中的等周不等式及相關問題，曲率測度和微分運算元的弱連續性，發展方程的整體可解性和爆破現象，以及雙曲空間上的半線性橢圓方程的正解及其相關性態。本項目證明了次線性和p-次線性橢圓方程正解的積分模的一些等周不等式，解決了k-Hessian運算元主特徵值在具有固定平均寬度的區域上的等周問題，導出了k-Hessian運算元主特徵值的變分公式，給出了新的k-曲率測度的定義，並證明了k-曲率運算元的弱連續性，證明了一類粘彈性模型的適定性，並給出了整體解的指數衰減估計，對經典的拋物Lane-Emden方程組的正解給出了整體存在和爆破現象的門檻結果。在雙曲空間上的半線性橢圓方程的研究中證明了Lane-Emden方程組的正解的存在性，並以實例說明了區域的拓撲性質對解的存在性和解的個數的影響。該項目共完成論文16篇，其中有11篇已發表於《Adv. Math.》、《J. Differential Equations》、《ZAMP》等著名學術期刊上。