《Levy擴散過程與非局部偏微分方程》是依託武漢大學，由張希承擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Levy擴散過程與非局部偏微分方程
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張希承
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究由Levy過程（特別地α穩定過程）驅動的隨機微分方程與非局部積分偏微分方程。眾所周知，Levy擴散過程的生成子為一非局部的積分偏微分運算元，就像Brown擴散過程與二階偏微分方程的聯繫一樣，我們主要想探討隨機分析或者說機率的方法在非局部積分偏微分方程中的套用，反過來，通過研究非局部積分偏微分方程來研究帶跳的隨機微分方程。特別地我們主要側重於以下幾個方面的研究：1、擬線性積分偏微分方程的機率方法。2、由Levy過程驅動的隨機微分方程的Krylov估計。3、非局部方程的Harnack不等式以及Holder估計。4、非局部積分偏微分方程的Lp理論。5、由Levy過程驅動的隨機偏微分方程的遍歷性。以上研究內容之間有著密切的聯繫。進一步，我們期望能套用到各種非線性問題中去，比方臨界多維Burgers方程，準地轉方程等等。
結題摘要
經典的隨機微分方程理論研究由Brown運動驅動的擴散過程，到目前為止與之相關的理論以及結果已經相當完善。然而，不連續隨機微分方程的研究結果相對來說要少許多，部分原因由於不連續Levy過程的Levy測度具有多樣性導致相應的研究變的相當複雜，很多結果強烈地依賴於Levy測度的性質。最近幾年，由於不連續擴散過程與物理、控制以及金融數學等學科中的許多現象有著密切的聯繫，因此引起了眾多學者的極大興趣。而該項目即是圍繞著與非局部運算元有關的不連續擴散過程的研究。我們從分析與機率的角度研究了相關的問題並取得了以下主要進展與結果： 1、建立了非局部運算元L^p極大正則性理論。2、研究了純跳Levy過程驅動的隨機微分方程的各種導數公式及其套用。3、證明了具有Sobolev係數隨機微分方程的強適定性以及解的性質，這包括退化情形的DiPerna-Lions理論以及非退化情形的相關的結果。4、研究了非局部動力學Fokker-Planck方程的基本解存在性以及光滑性問題。5、解決了純跳超臨界隨機微分方程的適定性問題。這些結果的取得為我們後續研究奠定了堅實的基礎，並且也提出了許多新的有意思的問題。我們期望能在後續的研究中進一步完善關於帶跳隨機方程的理論，包括導數公式以及具有不規則係數隨機方程的強弱適定性等。
