《非局部緊空間上Feller半群遍歷性的一些問題》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由劉源擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非局部緊空間上Feller半群遍歷性的一些問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉源
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
關於非局部緊狀態空間上一般Feller半群的遍歷性理論與套用，近年來人們已經取得顯著成果，特別是申請人與合作者的最新工作提出最終連續性的概念，並在實質上推進了該方向的研究。受此鼓舞，結合國際上在帶退化型可加噪音的二維隨機Navier-Stokes方程的唯一遍歷性、隱馬氏鏈的Blackwell唯一遍歷性等課題上的若干重要進展，我們認為繼續深入研究非線性亞橢圓系統、隱馬氏鏈濾波的遍歷性問題，成為當前具有一定挑戰性的課題。.本項目計畫將關注以下三方面的問題：1. 帶退化型可加噪音的半線性隨機偏微分方程；2. 非局部緊空間上隱馬氏鏈的Blackwell問題；3. 最終連續性在隨機偏微分方程中的實例研究。
結題摘要
我們的研究課題是刻劃無窮維空間或更一般的Polish度量空間上Feller半群的遍歷行為，其實例包含帶退化可加噪音的隨機偏微分方程。該課題背景一方面參考Hairer-Mattingly [Ann. Math, 06]關於二維隨機Navier-Stokes方程唯一遍歷性的突破性工作，另一方面來自Lasota-Szarek關於等度連續半群不變測度存在性的一系列結果，並且我們注意到他們提出的關於半群的漸近強Feller性或等度連續性都有不成立的情形。我們提出了最終連續性的概念，給出一般Feller半群遍歷性的近乎充要準則，以及漸近穩定性的充要準則。與已有結果相比較，我們的工作是足夠一般的和基本的，並且對前人的研究對象同樣適用。我們進一步研究Feller半群趨於遍歷測度(平衡態)的速率問題。這包括以下結果：(1)對Wiener空間上的一類薛丁格運算元的譜隙及其基態函式給出了細緻的比較定理;(2) 對滿足Lyapunov條件的對稱擴散過程的距離函式關於不變測度是否具有高斯可積性給出簡單證明，從而回答吳黎明教授及其合作者在[PTRF, 10]中提出的一個問題；(3)對完備連通黎曼流形上的對稱擴散運算元，若Bakry-Emery曲率存在下界(允許為負值)，我們證明對數Sobolev不等式與Lyapunov條件等價。
