《非局部偏微分方程解的漸近性態研究》是依託華中科技大學，由楊美華擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非局部偏微分方程解的漸近性態研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：楊美華
- 依託單位：華中科技大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要是深入研究來源於控制論、流體力學以及數學物理等領域的非局部偏微分方程解的漸近性態，希望細緻刻畫其新特性（能夠體現其與經典偏微分方程區別的特性），豐富無窮維動力系統的理論。首先，考慮非局部情形下無窮維動力系統經典模型-反應擴散方程的吸引子的存在性以及正則性；其次通過非線性分析、偏微分方程和無窮維動力系統的思想方法的聯合運用，建立能反映非局部耗散方程特性的吸引子相關問題的針對性理論框架，探索處理這類方程的先驗估計方法，並套用到各種具有實際背景的非局部耗散方程。最後，考慮隨機（高斯噪聲以及 Levy 噪聲）擾動下的非局部偏微分方程，比較兩類不同噪聲對系統的影響；特別的，考慮當噪聲消失時系統的極限行為。這些問題不僅富有挑戰性，對發展完善無窮維動力系統吸引子相關理論也有很好的促進作用。
結題摘要
本項目主要致力於通過非線性分析和偏微分方程理論的聯合運用細緻分析(確定、隨機)非局部偏微分方程解的漸近性態，並通過具體問題的研究來啟發我們提煉和發展無窮維動力系統吸引子相關理論。反應擴散方程作為無窮維動力系統領域的基本模型，由於形式簡潔，常被研究者用來啟發和闡述無窮維動力系統的新概念、新方法。因此，關於非局部反應擴散方程的研究對非局部偏微分方程所對應的無窮維動力系統理論的發展和完善有著強烈的推動作用。我們解決了非局部反應擴散方程的有限維漸近約化問題，給出了觀察非局部系統漸近行為的一個新的角度。特別的，我們利用吸引子的存在性(其維數是未知的)給出系統的有限維漸近約化-確定形。到目前為止，關於吸引子的結構分析還沒有取得更深層次的突破，這也導致了吸引子套用方面的結果較少。因此，這一主題的相關結果是吸引子套用方面的一個創新，相信我們這方面的工作會吸引更多同行的重視和參與。對於“一般非局部耗散偏微分方程解的漸近性態”這個主題，我們取得了一些有意義的階段性成果，如：開展了對非局部非線性耦合系統穩態解的研究，在建立先驗估計以及緊性分析的過程中，使得我們對非局部運算元的性質有了更深刻的理解；提出了非局部多尺度交通流模型並考慮了解的適定性等。這些結果對我們針對非局部問題建立針對性估計技巧以及緊性分析方法起到了很好的啟發作用；也為我們進一步研究非局部發展方程的吸引子存在性、正則性以及結構等提供了必要的前期準備。隨機動力系統的動力學行為提出了自身的、與確定性系統不同的條件和要求，出現了新特性，因此，刻畫噪聲所引起的動力學行為的變化是隨機動力系統領域備受關注的難點問題之一。針對具體的非局部隨機快慢系統，我們利用了慢約化系統的動力學性態來描述原系統，在此基礎上進一步給出慢流形的逼近，並給出具體的例子及其數值模擬，從直觀上體現了噪聲對有界區域情形下非局部系統的影響；我們解決了白噪聲驅動的Ostrovsky方程解的全局適定性問題，改進了A. de Bouard, A. Debussche and Y. Tsutsumi (J. Funct. Anal. 169(1999) 532-558.)，此外，我們針對具體模型給出了噪聲所引起的系統的動力學行為的變化的刻畫。這些結果為我們進一步考慮相應的非局部情形提供了必要的技術準備和豐富的素材。
