非齊次非局部擴散方程的穩態解和周期解

《非齊次非局部擴散方程的穩態解和周期解》是依託蘭州大學，由孫建文擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非齊次非局部擴散方程的穩態解和周期解
• 依託單位：蘭州大學
• 項目負責人：孫建文
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

近二十年來，在材料科學、種群動力學、流行病學等學科的研究中，導出了大量的非局部擴散方程並引起許多學者如P.W. Bates、H. Berestycki、Y. Lou等的極大關注，它已成為現代數學研究的一個重要領域。由於非局部擴散運算元不在具有較高的正則性及其本身緊性的缺失，給非局部擴散方程的研究帶來很多本質困難。本項目致力於研究非齊次非局部擴散方程的穩態解和周期解。主要內容包括帶保護區域的非齊次非局部擴散模型正穩態解的存在性、唯一性和穩定性，建立穩態解存在的充要條件並發展相關方法；研究帶變號權函式的非局部擴散基因模型，建立非平凡穩態解的存在性與唯一性，並發展關於其存在性和唯一性的方法；研究時間周期非局部擴散方程的正周期解，分析時間退化、空間退化及時空退化對非局部系統的不同影響。通過對這些非局部擴散方程的研究，希望從動力學角度理解它們的本質特徵。

結題摘要

本項目藉助於運算元半群理論、線性化穩定性原理、偏微分方程等理論研究非局部擴散方程的穩態解和周期解。發展已有的研究工具並找到新的研究方法，建立系統與精確的理論結果，並套用於非局部擴散種群動力學、傳染病學等學科。在穩態解的研究中，我們得到了正穩態解存在性、穩定性和唯一性等結果，這些結論體現出了空間非其次性、退化性、擴散運算元的非局部性等因素對穩態解的不同影響；在周期解的研究中，我們考慮了周期非局部運算元的譜理論及其主特徵值的性質，包括關於參數的漸近行為。主要結果套用到非局部擴散周期問題。同時我們發現非局部擴散方程與經典反應擴散方程解的不同行為與本質差別；進一步，在研究退化非局部方程正穩態解的性態時，我們得到了其關於退化的精確行為與爆破速度。這些結果可以描述非局部動力系統的獨有特點。