《反應擴散方程中時滯引發的不穩定性和Hopf分支》是依託哈爾濱工業大學，由陳珊珊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：反應擴散方程中時滯引發的不穩定性和Hopf分支
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：陳珊珊
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究非局部時滯和交錯擴散對於反應擴散方程的影響。研究內容包括：對具非局部時滯的反應擴散方程，首先通過發展局部時滯情形下的分析Hopf分支的方法，研究非局部時滯情形下穩態解附近的Hopf分支的存在性，然後利用中心流形定理和規範型方法研究Hopf分支的分支方向及分支周期解的穩定性等性質。對於具時滯和交錯擴散的反應擴散方程，首先對於時滯為零情形，通過對穩態分支和 Hopf分支的研究，考察交錯擴散導致的空間非均勻模式生成，然後研究時滯對於具交錯擴散項的反應擴散方程的影響，考察時滯導致的空間非均勻模式生成。 與局部時滯相比，非局部時滯給特徵值分析帶來了困難，此外，對於具交錯擴散和時滯的反應擴散方程，理論結果還很少。因此本項目不僅需要發展已有的理論工具，同時還需要新的方法。
結題摘要
本項目主要研究了幾類時滯微分方程、反應擴散方程以及時滯反應擴散方程的穩定性和 Hopf 分支。主要研究內容和結果如下：(1) 時滯反應擴散方程的 Hopf 分支。我們主要研究了齊次 Dirichlet 邊界條件下一般的非局部時滯反應擴散方程的 Hopf 分支。當核函式是空間平均時，我們發展了局部時滯下分析 Hopf 分支的方法，得到了非常值穩態解穩定性和時滯導致Hopf分支發生的參數區域。當核函式是時空平均時，我們發現在一定條件下，空間非齊次穩態解是穩定的，不會發生 Hopf 分支。此外，我們還研究了齊次 Dirichlet 邊界條件下具多時滯的擴散的 Logistic 單種群模型，得到當時滯是“控制時滯”時，此時滯會導致 Hopf 分支產生，而當時滯不是“控制時滯”時，時滯不會影響正平衡點的穩定性。 (2) 反應擴散方程的模式生成問題。我們研究了一類由反應擴散方程刻畫的捕食-被捕食模型，我們的結果包括常值平衡點的全局吸引性和非常值穩態解的不存在性，這些結果給出了模型的一些參數區域，使得在這些參數區域裡複雜的時空模式不存在。(3) 時滯微分方程的 Hopf 分支。對於由時滯微分方程刻畫的兩類基因轉錄模型，我們研究了正平衡點的全局穩定性和 Hopf 分支。此外，我們還得到了周期解的大範圍存在性，即全局 Hopf 分支的結果。
