《光滑與非光滑系統的定性分析與極限環分支》是依託上海師範大學，由韓茂安擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：光滑與非光滑系統的定性分析與極限環分支
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：韓茂安
- 依託單位：上海師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的研究對象主要涉及平面多項式微分系統、可積系統的周期函式、非光滑動力系統、反應擴散方程等，研究的主要問題是平面系統極限環的各種分支理論的深化與套用、臨界周期的分支方法的探索、非光滑系統分支理論與方法的建立、反應擴散方程行波解的存在性和穩定性、分數階方程邊值問題解的存在性等，我們將：1.深入和系統地研究哈密頓系統的退化中心、同宿環與異宿環在擾動之下更多個極限環的分支問題和含高階尖點、高階冪零鞍點等同宿環與異宿環的擾動分支及其對多項式系統的套用；2.在可積多項式系統的臨界周期的分支與個數方面建立新方法獲得新結果；3.建立非光滑系統新型同宿軌的穩定性判定方法和極限環分支的新理論；4.給出反應擴散方程行波解的存在性和穩定性的新方法，並獲得解析判定準則；研究具有複雜非線性項的或帶有脈衝項的分數階微分方程的周期邊值問題解的存在性。以上這些問題是微分方程與動力系統學科普遍關注的重要前沿問題。
結題摘要
項目的研究對象是光滑與非光滑的常微分方程，研究的重點是建立這些系統的極限環的分支方法，獲得給定系統極限環的個數,論文成果在極限環分支理論與方法等方面有一系列創新，在對多項式系統極限環個數的套用方面有一些最新結果。發表了近40篇學術論文，其中半數論文發表在國際權威雜誌，例如在JDE(5), JMAA(4) NA(3),AMC(3),IJBC(6)。出版了英文專著《Bifurcation Theory of Limit Cycles》,獲得了上海市自然科學獎三等獎，主要結果集中在以下兩方面。 1. 在平面光滑系統的極限環研究方面：獲得了一般Lienard多項式系統極限環個數的最佳結果（首次給出了極限環個數與多項式次數的非線性估計）；研究一類近哈密頓多項式系統的Hopf、Poincaré 環性數；在幾類系統的同宿異宿分支理論研究方面，通過引進多重參數，建立了一種可以獲得簡單易用且可以獲得更多個極限環的新方法；獲得了二維系統的異宿分支和雙異宿分支發現Alien極限環的新方法；研究一類含有同宿軌道與異宿軌道的可積系統在任意次多項式擾動下的同宿分支與個數問題，得到Melnikov函式在同宿軌道附近的近似展開式，同時給出部分係數的表達式；並且利用這些係數給出出現極限環的充分條件；研究二次系統三角形異宿環產生極限環的問題獲得無界的Melnikov函式的展開式，發現了2個極限環；平面近哈密頓系統同宿分支方面獲得Melnikov函式展開式中第5、6個等係數的係數的計算公式；證明研究平面系統極限環個數的Melnikov函式方法和平均方法是等價性問題。 2. 在平面非光滑系統的研究方面：研究了幾類非光滑系統的分支理論，給出判定同宿環軌道穩定性的條件，證明了幾種情況下（廣義）同宿軌在擾動下產生極限環的唯一性與唯二性；建立改變同宿環軌道穩定性來獲得極限環的方法並發現非光滑系統的Alien限環；探討一類非光滑的Hamiltonian系統的極限環分支與個數問題，得到最新的下界；研究了一類非光滑系統的同宿分支問題，推廣了分片Melnikov 函式；對一類分段多項式系統，通過研究首階Melnikov函式的根的個數，針對多項式的多種次數，獲得了極限環的最大個數，結果新且完整精細。
