動力系統周期解與穩定性研究

《動力系統周期解與穩定性研究》是依託上海師範大學，由韓茂安擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：動力系統周期解與穩定性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：韓茂安
• 依託單位：上海師範大學

項目摘要

本項目的研究對象主要涉及平面自治系統以及時滯與脈衝等微分系統所確定的動力系統，研究的主要問題是平面系統極限環的分支理論、時滯與脈衝微分系統周期解的存在性、分支理論及其穩定性，我們將：1.深入和系統地研究哈密頓系統的同宿環與異宿環在擾動之下極限環的分支問題和一般平面多項式的極限環個數；2.建立非光滑系統周期解分支和穩定性判定的新理論；3.研究時滯與脈衝時滯微分系統周期解存在性和幾類偏泛函微分方程的行波解問題，並給出解析判定準則；4.給出中立型脈衝時滯微分系統解的存在唯一性、正則性和穩定性較為深入的結果；5.研究高階微分方程和具Laplace運算元的微分方程的邊值問題，以及一些出現於物理、生物數學、神經網路、控制等領域實際模型解的穩定性和同步。以上這些問題是動力系統學科的重要問題，我們將引進新的研究方法，獲得新的結果，建立新的理論。

結題摘要

研究了一般n 次多項式系統及一些形式較特殊的n 次多項式系統之極限環的下界估計問題，引入新的方法技巧，並把定性方法與分支方法相結合，獲得了極限環個數的最新的下界。研究了非光滑動力系統極限環分支問題，把對光滑系統的研究方法拓廣到非光滑系統，建立了非光滑系統的Melnikov函式的公式，通過引入廣義奇點，廣義同宿環等新的概念以及合適的Poincare 映射（先分段建立，後逐段複合），結合計算後繼函式的展開式及其係數研究了非光滑系統的臨極限環個數問題，建立了非光滑系統極限環的Hopf 和同宿分支方法。深入研究了平面動力系統同宿環與異宿環的擾動分支問題，特別是較系統地研究了含冪零尖點或冪零鞍點的同宿環的擾動分支問題，並獲得了Melnikov函式的展開式形式，而且在一定條件下利用展開式的前幾個係數建立了尋求多個極限環的一般方法，並利用所得一般結果研究三次及高次等多項式系統極限環的個數。研究了脈衝時滯微分方程，通過引入中立型脈衝時滯微分系統積分解、嚴格解的概念，套用不動點定理以及積分半群的一些基本性質，得到抽象空間中中立型脈衝時滯微分系統積分解和嚴格解存在性、唯一性和正則性的充分條件，並對系統在脈衝與偏差變元共同影響下的穩定性做出較為深入的結果。研究了一維脈衝系統的周期解的存在性問題，通過引入Poincare 映射，獲得了擾動系統出現倍周期分支的條件。研究了一些有實際背景的生物數學模型與神經網路模型，通過構造適當的V-函式，利用M-不等式和泛函分析方法對模型做深入定性與穩定性分析，獲得存在概周期解存在的充分條件，並對模型的同步性以及混沌問題做了細緻研究。