分段光滑動力系統的定性分析和分岔理論研究

《分段光滑動力系統的定性分析和分岔理論研究》是依託北京航空航天大學，由彭臨平擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：分段光滑動力系統的定性分析和分岔理論研究
• 依託單位：北京航空航天大學
• 項目負責人：彭臨平
• 項目類別：面上項目

項目摘要

分段光滑動力系統廣泛存在於力學、生態學及非線性電路等領域。然而由於向量場或疊代方程的非光滑性，使得分析光滑動力系統的傳統方法不再適用，因此開展分段光滑動力系統的定性分析和分岔理論研究具有重要的理論意義和套用價值。本項目利用非光滑動力學的理論和思想擬對分段光滑動力系統如下幾方面展開研究：第一，研究分段光滑動力系統的定性性質，包括奇點類型，周期解的存在性和穩定性等，建立有關的判定準則；證明滑動閉軌、滑動同宿軌、滑動異宿軌的存在性定理。第二，研究多邊界分段光滑動力系統的常規分岔和非光滑分岔（如邊界碰撞分岔），給出分岔發生的條件；分析常規分岔與非光滑分岔之間的相互作用及內在聯繫，揭示分段光滑動力系統的分岔機理。第三，研究分段光滑動力系統在力學、生態學及非線性電路等領域的套用：對相關領域中典型的非光滑現象建模，分析其動力學行為，研究其動力學性質，揭示其複雜的動力學機理，為解決實際問題提供方法和策略。

結題摘要

非光滑現象廣泛存在於自然科學和工程領域，因此研究模擬這類現象的非光滑動力系統具有很強的現實意義。分段光滑動力系統則為最重要的非光滑系統之一，主要特點是其相空間被分成若干個子域，向量場在每個子域內是光滑的，而在兩個子域的交界即分界面上是非光滑的。由此可見，分段光滑動力系統與光滑動力系統既有區別，更有聯繫。本項目首先開展了光滑動力系統的定性性質和分岔理論的研究：研究了雙中心退化系統的極限環分岔，特別是給出了研究同時分岔的方法，證明了雙中心周期環域的環性猜想；利用高階平均方法研究了高次系統的極限環分岔，提供了計算高階平均函式的技巧，及分析並估計其零點個數的方法；首次給出了任意的等時中心在任意小擾動下任意高階周期分岔函式的解析表達式，改善和拓廣了已有的結果，提供了深入研究臨界周期分岔現象的重要工具。其次將研究光滑動力系統的方法加以拓廣和改進，對分段光滑動力系統進行了定性分析（包括相圖結構、周期軌道的存在性），對其常規分岔和非常規分岔進行了研究(包括邊界奇點分岔、周期環域的極限環分岔及邊界碰撞分岔等)。研究成果顯示：分段線性系統具有豐富的動力學行為。在邊界平衡點的分岔問題研究中，發現了分段光滑性導致的超臨界和非正規叉形分岔以及光滑性導致的超臨界Hopf分岔共存的現象，揭示了分段光滑動力系統的新的動力學特點。分析了多種邊界碰撞分岔現象，建立了它們發生的條件。最後探討了分段光滑動力系統在非線性電路中的套用，如對著名的Chua電路模型，運用非光滑系統的理論和方法分析了平衡點的存在性和穩定性，得到了一些不連續分岔與經典分岔共存的結果，揭示了分段光滑動力系統的Chua電路中複雜的非線性動力學現象，對實踐具有一定的指導意義。此外還研究了動力系統在生化系統及神經網路方面的套用。