《分段光滑動力系統的周期軌分岔和同宿分岔》是依託四川大學，由杜正東擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分段光滑動力系統的周期軌分岔和同宿分岔
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：杜正東
- 依託單位：四川大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
由於許多實際問題涉及碰撞、擦邊以及切換，在工程力學、工程控制等學科推動下，對分段光滑動力系統的研究已成為近年來的一個熱點。各種非光滑情形給系統分岔問題增加了很大困難，包括對Poincaré映射的計算和估計，甚至使系統出現光滑動力系統完全不發生的現象。本項目擬研究在套用中典型的碰撞振動系統和Filippov系統由於非光滑性導致的周期軌分岔和同宿分岔，重點研究自治擾動下與切換流形相切的擦邊周期軌和與切換流形部分重合的滑動周期軌的分岔；研究對高維分段光滑系統退化同宿軌在無窮維空間中進行擾動後的保持性和分岔，討論擾動系統的線性無關同宿軌的個數的變化；研究同宿軌在擬周期擾動下產生的Smale馬蹄混沌和奇怪非混沌吸引子；利用秩一吸引子理論研究單自由度碰撞振動系統的與碰撞面橫截相交的同宿軌在周期擾動下同宿纏結的幾何結構。
結題摘要
在工程力學、工程控制等學科推動下，對分段光滑動力系統的研究已成為近年來的一個熱點。各種非光滑情形給系統分岔問題增加了很大困難。本項目圍繞分段光滑系統的周期軌分岔和同宿分岔問題進行了細緻研究，取得了一系列的研究成果：(1) 討論了一類非線性倒置單擺在擬周期擾動下的同宿分岔和混沌, 以及一類以相交於原點的有限多條射線作為不連續集的平面不連續系統在周期擾動下的異宿分岔現象，建立了相應的Melnikov 方法。 (2) 考慮了非線性分段光滑系統同宿分岔產生極限環的問題。通過在雙曲鞍點附近建立Dulac映射，得到返回映射的估計。給出了同宿軌穩定性條件，及由同宿軌分岔出一個和兩個極限環的條件。(3) 研究了一類雙線性系統的退化擦邊分岔問題。該系統的Poincare截面不連續映射的正規形是退化的，不能用於研究所考慮的問題，我們採用的是數值模擬的方法。結果表明這類擦邊分岔的動力學行為比非退化的擦邊分岔要複雜的多。這一結果有助於對退化擦邊分岔問題的理論研究。(4) 分段光滑系統的擦邊和滑動周期軌分岔的Poincaré映射是不連續的或連續但不光滑的，討論了這些Poincaré映射所誘導出的一類線性-非線性非光滑映射的周期軌道問題，特別是討論了其加周期分岔現象，給出了周期軌存在及穩定的參數條件，討論了這些周期軌的倍周期分岔和鞍結點分岔現象和這些周期軌的Farey樹結構；對這類映射的更一般形式， Glendinning討論了含有一個間斷點的分段單調映射的異於倍周期分岔導致混沌的新的通向混沌的一個重要的路徑，即由無窮多個非諧和（anharmonic）周期軌序列通過一系列邊界碰撞分岔和倍周期導致混沌，我們首次研究了這類分岔問題的分岔參數的計算和標度因子問題。(5) 討論了一類以相交於原點的有限多條射線作為不連續集的平面分段光滑系統的非雙曲極限環分岔現象， 利用Melnikov 函式法討論了該非雙曲極限環的穩定性和分岔出來的極限環的個數。(6) 研究了一類光滑性較差的無窮維動力系統中弱雙曲流形的逼近問題，研究了一類重要的非光滑動力系統，即隨機動力系統的中心流形問題。
