三維分段光滑ODE系統不連續性誘導的若干分岔現象研究

《三維分段光滑ODE系統不連續性誘導的若干分岔現象研究》是依託華中科技大學，由宦頌梅擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：三維分段光滑ODE系統不連續性誘導的若干分岔現象研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：宦頌梅
• 依託單位：華中科技大學

中文摘要

分段光滑ODE系統具有廣泛的科學和工程套用背景以及重要的理論研究意義。本課題以含單個不連續邊界的三維分段光滑ODE系統為研究對象，探討系統與不連續邊界有交點的不變集隨著參數的變化可能經歷的動力學分岔行為。擬以研究三維分段線性ODE系統為切入點，通過靈活運用最新的不連續性誘導的零時間映射（ZDM）和不連續性誘導的Poincaré- 截面映射（PDM）的構造思想來構造系統的Poincaré 映射，進而運用符號動力學和拓撲馬蹄理論研究系統的若干不連續性誘導的分岔現象以及混沌吸引子的存在性。本課題擬發展一些用於處理三維分段光滑ODE系統的通用方法和技巧，擬弄清楚該類系統的某些分岔機理，給出若干判定系統混沌性的定理，為解釋現實模型中觀察到的某些分岔現象和利用切換控制設計和實現混沌電路提供理論依據和方法指導。

結題摘要

本項目主要以含單個不連續邊界的三維分段光滑ODE系統為研究對象，探討該類系統與不連續邊界有交點的不變集的存在性以及參數的變化所帶來的各種動力學分岔行為。目前已經取得的重要結果主要有以下幾個方面：一、周期軌方面給出了具有兩個子系統的一般平面分段線性系統周期軌存在的代數條件，並用該條件解決了有關周期軌的存在性、個數以及分岔方面等問題，包括系統具有結點-結點型、焦點-焦點型、鞍點-鞍點型以及各種混合型動力性態時的相關問題。在三維分段線性系統周期軌的存在性方面也取得了很大的進展，對某些類型的三維系統給出了周期軌存在的充要條件，並且發現對某些三維系統孤立的周期軌（即極限環）存在於不變柱面上。二、不變錐面得到了一般的具有兩個子系統的三維分段線性齊次系統不變錐存在的代數條件，套用該代數條件得出一般系統中不變錐的最大個數不少於4，並且解決了某些特殊類型系統不變錐的存在性及最大個數問題，給出了不變錐存在的充要條件。三、不變柱面在某些非齊次三維分段線性系統中發現了不變柱面的存在，並且給出了不變柱面存在的充要條件以及不變柱面上周期軌以及極限環存在的充要條件四、同宿、異宿軌和環的存在性得到了一般的三維分段線性系統同宿軌（環）以及異宿軌（環）存在的充要的代數條件，並且得出這些特殊的具有重大意義的不變軌道的存在性（包括唯一性以及無數多個同時存在）與不連續邊界上crossing區域以及sliding區域之間的位置關係。 科學意義：所得到的決定各類不變集存在性的代數條件不僅可以用來得到某些系統不變集存在的充分甚至充要條件，進而用於探討各類分岔現象的機理，而且為從數值上完全解決三維分段線性系統各類不變集的存在性和個數問題提供了理論支持並且保證了其可能性。為理解和解決非光滑動力系統中各類複雜現象，尤其是混沌現象的機理奠定了理論基礎，提供了思想和方法指導。