《微分方程的定性與穩定性理論》是依託上海交通大學，由肖冬梅擔任項目負責人的重點項目。
基本介紹
- 中文名：微分方程的定性與穩定性理論
- 項目類別：重點項目
- 項目負責人：肖冬梅
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究微分方程定性與穩定性理論的基本問題:奇點、極限環和大範圍動力學。主要討論實多項式系統的中心焦點判定問題、復多項式系統和不光滑系統奇點類型問題、Hilbert第16問題第二部分及其弱化形式、以及來自實際問題中的高維微分系統和無窮維系統的特殊解存在性、穩定性及全局動力學問題。這是國際上微分方程定性與穩定性研究領域經典而熱門的課題，通過本項目研究希望對微分系統定性與穩定性理論及其研究方法有所發展與豐富，對Hilbert第16問題的研究有所貢獻。
結題摘要
本項目研究了與Hilbert第16問題相關的極限環分支問題，微分系統奇點定性性態判定與分支，有套用背景的不連續或不光滑系統定性分析，以及高維或無窮維動力系統特殊解存在性、穩定性與全局動力學. 在這四方面取得了系列研究成果，發表SCI類學術論文７４篇，解決或部分解決了一些公開問題，受到國際學術同行的關注和引用。具體地，（１） 對平面多項式系統含有初等中心的周期環域，其本質擾動能使周期環上分支出極限環個數最多，一個重要問題是如何求本質擾動？我們發現了初等中心的Bautin 理想構成的各奇異退化層出發的單參數弧的集合能構成Nash空間，該系統的本質擾動是由該弧的Nash空間中不可約分支確定，從理論上揭示了本質擾動的幾何特徵及其計算。對研究平面周期環域分支出極限環常用的兩類方法Melnikov函式方法和平均方法我們證明它們本質上是等價的。對具有同宿軌且積分因子有奇性的近可積系統，給出了Melnikov函式在同宿軌附近的漸近展開式，其中有若干項是無界的，這是一個新發現，並獲得鄰近同宿軌的極限環個數的最小上界。證明了Artés–Llibre–Valls 研究Higgins–Selkov系統和 Selkov系統時提出的關於極限環存在性和唯一性的兩個猜想.（２） 對幾類平面擬齊次多項式系統獲得存在中心的充要條件；首次給出半線性偏微分方程發生余維2的尖點分支實例；解決了具有高退化奇點的平面Hamiltonian系統開折的局部分岔問題（３） 發展了不連續或分段光滑系統的定性理論與分支方法（４） 給出新的極值原理，較完整地解決了一類帶有擴散與對流的競爭系統的全局動力學；對Bianchi宇宙模型，完整解決了前人遺留的問題；對一類時空滯後的擴散方程，完整解決了對所有允許波速其行波解的唯一性問題。
