不連續微分方程的定性研究

《不連續微分方程的定性研究》是依託湖南大學，由黃立宏擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：不連續微分方程的定性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：黃立宏
• 依託單位：湖南大學

中文摘要

在現有研究工作的基礎上，進一步深入研究不連續微分方程的若干關鍵理論問題，包括初值問題解的存在與唯一性，解對初值及系統參數的連續依賴性，解的延拓和整體存在性，平衡點、周期解的存在性與穩定性，滑模解等特殊解的存在性，解的有限時間收斂性，以及由參數變化所引起的分岔和混沌等。發展不連續微分方程定性研究方法，如：發展不連續微分方程穩定性研究的Lyapunov方法；發展不連續函式的度理論與非光滑的臨界點理論以研究不連續微分方程周期解的存在性；綜合運用集值映射、微分包含、微分方程的擾動、非光滑分析等理論研究不連續微分方程解的大時間性態等。利用發展的方法與理論，對科學與工程等領域中一些具不連續因素影響的實際問題進行動力學建模，研究新建和已有的一些用不連續微分方程描述的數學模型的動力學性質。這些研究既可豐富不連續微分方程的研究方法和理論，又可為眾多具不連續因素影響的實際問題的分析與解決提供有效方法和理論工具

結題摘要

自本項目立項以來，我們獲得了一系列重要研究成果，至今為止已發表論文33篇，其中30篇發表在SCI源刊雜誌上，出版《右端不連續微分方程理論與套用》專著1部。這些研究成果為整個項目的完成提供了堅實的支撐，也達到了本項目所制定的預期目標。本項目的主要研究成果包括理論研究和套用研究兩個方面，具體可歸結如下： 在理論研究方面，我們重點對不連續的時滯微分方程和泛函微分包含的在Filippov意義下解的基本性質和定性與穩定性問題進行了研究。這些基本問題主要包括：解的有效性、解的唯一性和延拓性、解對初始值和參數的連續依賴性、解軌線各種不同的穩定性和收斂性行為(例如，全局漸近或指數穩定性、同步和擬同步性、全局耗散性和魯棒穩定性)等等。通過對這些基本理論問題的研究，我們在一定程度上發展了右端不連續微分方程和微分包含（特別是右端不連續時滯微分方程和泛函微分包含）理論和研究方法。在套用研究方面，我們把所創新的理論性成果和研究方法套用到各種不同的科學與工程領域：神經網路、生物學和傳染病學、自動控制與工程、機械學、物理學等等。我們主要從兩方面著手研究。一是根據現實生產生活中出現的一些不連續現象，在一些已有模型的基礎上，我們建立和探討了不同領域中可由右端不連續微分方程來刻畫的若干數學模型。並且通過構造Filippov集值映射(即Filippov正規化)把右端不連續的微分方程轉化為微分包含。其二是在Filippov微分包含的框架內，綜合運用集值映射的不動點理論、廣義的Lyapunov方法、集值分析中的拓撲度理論、矩陣分析、矩陣測度理論和一些廣義的不等式、非光滑分析等一些新穎的工具與方法來研究各種動力學行為。所研究的動力學行為主要有(正)平衡點、(正)周期和概周期軌、穩定性以及由參數變化引起的分岔與一些其它複雜動力學現象等等。這些研究成果的取得也為今後的進一步深入研究打下了很好的基礎。