《一些偏微分方程和方程組的定性研究》是依託湖南大學，由桂長峰擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：一些偏微分方程和方程組的定性研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：桂長峰
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
我們計畫研究非線性偏微分方程組或者系統的整體解的適定性。特別我們將研究Allen-Cahn 型方程的鞍形解和行波解，包括具有雙井位勢的經典標量方程以及具有多重井位勢的矢量方程。對於穩態的標量Allen-Cahn 方程，我們將重點研究特殊鞍解的存在性以及解水平集與極小曲面之間的關係，從而能夠將Allen-Cahn方程的所有整體解分類。關於Allen-Chan 方程的行波解，我們將研究所有單調解的對稱性和分類以及與平均曲率界之間的關係。關於具有三井位勢的矢量方程，我們將研究具有合適邊界條件的某特定極小化解的奇異集一以及在整個平面上此奇異集與三結點解之間的關係。我們還將研究Gross-Piaevskii方程的非退化的軸對稱行波解。最後我們還將研究分數階Laplacian方程在全空間上解的存在性。以上所研究的問題因其強烈的物理背景備受關注。
結題摘要
著名的推廣了的變分法被用來構造Allen-Cahn方程在二維歐氏空間的四終端解。當結點處的角度接近pi/2或者0時，利用Lyapunov–Schmid 約化法， Del Pino, Kowalczyk, Pacard 和 Wei構造了四終端解。對於結點處的角度在0和pi/2之間時，Kowalczyk, Liu 和 Pacard 利用連續方法構造了四終端解。在具有一定限制的空間上，通過特殊的山路論證，或者稱為單調函式的單調路徑的集合，首先通過對節點集很好的控制下構造有界區域上的一族解，然後令區域趨向於整個區域，從而得到四終端解。通過這個方法，不僅僅構造了在角度為在0和pi/2之間的值時的一族四終端解，而且這類四終端解的Morse指標為1也被證明了。
