《偏微分方程的超定性問題及Pompeiu 問題的研究》是依託北京理工大學，由劉跟前擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：偏微分方程的超定性問題及Pompeiu 問題的研究
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：劉跟前
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
通過給出比偏微分方程的適定性問題更多的邊界條件來確定有關的物理量或區域的幾何性質是超定性問題的主要特點。本項目的研究內容包括密切相關的兩部分：1、解決在理論和套用上相當重要的四個偏微分方程的超定性問題（即超定邊界條件的p-Newton勢、超定邊界條件的Monge-Ampere方程的主征值問題、超定波動方程和超定Schrodinger方程）； 2、研究超定性問題中最重要的Pompeiu問題（或等價的Schiffer猜想），得到Pompeiu 問題儘可能好的實質性進展和結果。本項目的研究將直接推動偏微分方程和相關學科的發展，具有重要的理論意義和潛在的套用價值。
結題摘要
本項目的主要內容是研究Pompeiu逆譜問題，更確切的說是通過研究特徵值或特徵函式來確定一個區域的形狀或譜幾何不變數。著名的Weyl漸近公式、Pompeiu問題（即Schiffer猜想）、第一特徵值的等周不等式都屬於逆譜問題。逆譜問題具有非常重要理論的意義和相當廣泛的套用背景。通過課題組成員四年的努力，該項目的主要任務已經被全部完成，而且我們在其他方面取得了更多的研究成果。其主要科研成果是： 1．給出了雙調和Steklov特徵值的Weyl漸進公式。通過這個公式我們能得到此n-維區域邊界面的(n-1)-維體積（即譜幾何不變數）。該成果發表在國際著名雜誌《Advances in Mathematics》上（看該雜誌的Vol. 228 (2011), 2162–2217）。 2．給出了Dirichlet-to-Neumann映象熱跡運算元的漸進展開公式，不僅給出了一般的展開方法而且給出了展開式前四項的係數。通過這個公式我們可以從Steklov特徵值得知區域邊界面的(n-1)-維體積、邊界面的主曲率、邊界面及整個區域在邊界面上的Ricci曲率、標量曲率等譜幾何不變數。該成果發表在國際著名數學雜誌《Journal of Differential Equations》上（看該雜誌Vol. 259 (2015) ,2499–2545）。 3. 完全解決了具有三十年之久的由著名數學家T. Aubin提出的一個未解決的問題，即給出雙曲空間上的關於任意階導數的最佳Sobolev不等式。這個不等式中的最佳常數密切聯繫著幾何量，與研究高階導數的Yamabe問題有關。該成果發表在國際著名數學雜誌《Calculus of Variantions and PDE》上（看該雜誌Vol. 47(2013), 567–588）。 4. 項目組成員楊洪蒼教授給出了buckling特徵值的一般不等式該，成果發表在國際著名數學雜誌《Trans. Amer. Math. Soc.》上（看該雜誌Vol.364(2012), 6139-6158）；項目組成員保繼光教授給出了Lame彈性方程解的梯度估計，其成果發表在國際著名數學雜誌《Arch. Ration Mech. Anal.》上（看該雜誌Vol. 215(2015), 307-351）。保繼光教授也給出了2連通域上k-Hassian超定問題。
