《生物學和物理學中的一些偏微分方程問題》是依託中山大學，由崔尚斌擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：生物學和物理學中的一些偏微分方程問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：崔尚斌
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目旨在對幾類來源於生物學和物理學問題的非線性偏微分方程進行嚴格的數學理論分析，建立這些偏微分方程初值問題在一些函式空間中的適定性，並研究它們的局蘭迎解在時間趨於無窮時的漸近性態，包括對相應的穩態方程和穩態解進行研究。這幾類方程包括：描述腫瘤生長的偏微分方程，描述細胞分裂繁衍的偏微分方程，來源於流體力學的Navier-Stokes方程，描述帶電粒子流運動的NSNPP方程，來源於材料物理的向列性液晶流方程，以及粘彈性流體力學方程等。這些偏微分方程的共性是它們都是拋物型方程、傳輸方程以及這些類型偏微分方程的耦合，都可以採用半群理論和Banach空間上的兵坑抹微分方程理論進行研究，因而在處理方法上都有共性。我們期望通過對這些具體的偏微分方程的研究，為相關的生物學和物理學問題的理論研究提供堅實的數學基礎，並希望通過對這些具體方程的研究，在數學理論上有所創新。這無疑具有重要的理論意義。
結題摘要
本項目研究了以下幾類來源於生物學和物理學問題的非線性偏微分方程: (1) 描述腫瘤生長的偏微分方程自由邊界問題； (2) 描述細胞分裂繁衍的偏微分方程； (3)人口遷臘請頌移方程及相應的傳染病傳播方程； (4) Navier-Stokes方程及相關的偏微分方程如粘性Boussinesq方程組、磁流體動力學方程組、向列性液晶流方程組、NSNPP方程組(Navier-Stokes-Nernst-Poisson-Planck方程組)等；(5) 其他來源於物理學的非線性發展方程如非線性Schrodinger方程組厚糊判籃、水溶液電解學理論的Debye-Huckel方程組、隨機Kuramoto-Sivashinsky方程與隨機Ginzburg-Landau型方程的耦合組、貝塔型準地轉方程、Keller-Segel方程組等. 對第(1)類方程, 研究了Pettet模型球對稱穩態解的漸近穩定性,證明了球對稱穩態解不僅在球對稱攝動下是乃廈漸近穩定的,而且在非球對稱攝動下是線性穩定的,並對有抑制物作用的Byrne-Chaplain腫瘤模型和有抑制物作用的帶有Stokes 方程的流體型腫瘤模型，套用分歧方法建立了非球對稱穩態解的存在性.對於 (2) 和(3)類方程, 研究了解當時間趨於無窮時的漸近性態，證明了這些方程的解都具寒驗頌炒有同步指數增長性質. 對(4)和 (5)類方程, 主要研究初值問題的局部適定性、整體適定性和不適定性等問題，證明了它們在一些具有低正則性指標或臨界正則性指標的函式空間如臨界Besov空間、臨界Fourier-Herz空間等中一般初值問題的局部適定性和小初值問題的整體適定性, 或對應地證明了它們的不適定性, 並對Navier-Stokes方程在更廣意義下弱解的存在性以及以上各類方程弱解的唯一性準則、弱解的正則性準則和溫和解的爆破準則都獲得了一些新的成果.其他一些相關問題如相干耦合的非線性Schrodinger方程組多行速孤立子解的存在性等問題, 也獲得了一些結果.共提局煉促交已發表研究論文35篇, 其中31篇發表在SCI或SCIE類雜誌.
