《套用偏微分方程的若干問題》是依託中山大學，由崔尚斌擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：套用偏微分方程的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：崔尚斌
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目旨在從以下四個方面研究套用偏微分方程問題：（1）腫瘤生長模型的非球對稱解的個數與漸近穩定性；（2）一些來源於物理學領域的色散型非線性發展方程初值問題在某些臨界函式空間中的整體適定性；（3）一些來源於物理學領域的不可積非線性發展方程多孤立子解的存在性和穩定性；（4）一些與Navier-Stokes方程相關的非線性發展方程在一些新型函式空間和一些臨界空間中的適定性和解的整體性態。這是一些在生物學和物理學等領域有重要套用背景的偏微分方程問題。本項目旨在對這些從套用學科領域提出的偏微分方程問題做深入系統的數學理論分析，為套用學科領域相關課題的研究提供堅實的數學理論基礎和數學分析工具。本項課題不僅有重要的套用科學意義,而且需要綜合地運用一些深入的數學理論和最新的分析學知識,對它的深入研究必能促進偏微分方程理論的進一步發展,因此也具有重要的數學理論意義。
結題摘要
本項目研究以下三個方面的問題：（一）描述腫瘤生長的偏微分方程自由邊界問題的數學理論分析，主要研究了描述血管化腫瘤生長模型的帶有第三邊界條件和非線性邊界條件的偏微分方程自由邊界問題以及描述有壞死核的腫瘤生長模型的偏微分方程自由邊界問題；（二）Navier-Stokes方程以及與此方程相關的一些其他非線性發展方程尤其是描述大尺度海洋和大氣動力學行為的下述稱之為primitiveequations的偏微分方程組和描述血液等不可壓微極流體運動的偏微分方程組等在一些新型函式空間和一些臨界空間中的適定性、解的正則性和解的整體性態；（三） 一些來源於物理學領域的非線性發展方程的多孤立子解的存在性和穩定性等問題。對於所研究的各項內容,我們都做了儘可能深入的理論分析,取得了一系列具有較好理論和套用意義的研究成果,尤其是對描述腫瘤生長的偏微分方程自由邊界問題和Navier-Stokes方程，取得了一些非常好的成果，例如我們對Navier-Stokes方程在臨界Besov空間中的適定性問題這一國際Navier-Stokes方程研究領域十分關注問題的研究成果，得到了最佳結果，所獲成果已經被寫入介紹這一課題最新研究進展的國際名著《The Navier-Stokes Problem in the 21st Century》中(見其中的定理9.6)；對描述有壞死核腫瘤生長的偏微分方程自由邊界問題適定性和當時間趨於無窮時解的漸近性態等問題的研究成果，採用Nash-Moser隱函式定理等高深的數學理論做工具，不僅解決了這一已經十餘年懸而未決的問題，而且在解決這一難題的過程中我們建立一些新的數學理論工具，提出了擬可微Banach流形的概念，建立了擬可微Banach流形上具有在Lie群作用下不變結構的拋物型微分方程的定性理論。我們為解決這一問題所創造的思想和方法,已經被同行學者學習並套用來解決他們所研究的一些問題。本項目迄今已經發表論文24篇（其中正式發表21篇，在網上發表預計2020年刊入印刷版的論文3篇），另有數篇論文已投稿或在Arxiv上公布於國際學術界。
